计算国际象棋材料组合数量的简单方法答案

【问题标题】：Simple way to calculate number of chess material combinations计算国际象棋材料组合数量的简单方法
【发布时间】：2014-12-02 03:31:14
【问题描述】：

在国际象棋中，一个棋手可以有不同的材料组合，例如：

“1后，2车，2马，2象，8兵+国王”是一种组合

如果玩家失去一位主教：

“1后，2车，2马，1象，8兵+国王”是另一种组合

..之后，如果一个棋子被提升为一个骑士，那么：

“1后，2车，3马，1象，7兵+国王”是另一种组合

好的，以下组合无效：

“5个皇后，5个车，5个骑士，5个象，2个兵+国王”

因为您缺少要推广的棋子。（5 个皇后 = 需要 4 个棋子）（5 个车 = 需要 3 个棋子）等等，所以需要 4 + 3 + 3 + 3 = 13 个棋子。由于棋盘上有2个棋子，那么最多可以升级6个棋子。无效。

有多少种有效的材料组合？我使用以下 C 代码计算了 8694 个组合。问题是：

您是否找到更简单/有效的算法来计算它？（更少的周期、更少的计算、更清晰的代码等）……甚至是数学公式？？

total = 0;
for (queens=0;queens<=9;queens++)
for (rooks=0;rooks<=10;rooks++)
for (bishops=0;bishops<=10;bishops++)
for (knights=0;knights<=10;knights++)
for (pawns=0;pawns<=8;pawns++)
{
    pawnsRequested = 0;
    if (queens>1) pawnsRequested += queens - 1;
    if (rooks>2) pawnsRequested += rooks - 2;
    if (bishops>2) pawnsRequested += bishops - 2;
    if (knights>2) pawnsRequested += knights - 2;
    if (8-pawns < pawnsRequested) continue;
    total++;
}
printf("%i\n",total);

【问题讨论】：

标签： algorithm chess

【解决方案1】：

如果棋子类型是独立的，那么我们可以乘以：10 种可能性的皇后乘以 11 种可能性的车次等等。但是，我们需要跟踪棋子的使用情况。有一个名为generating functions 的数学技巧，我们可以在其中将可能性编码为，例如，rooks as

3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8,

其中x 的幂表示使用的棋子数量，系数表示可能性的数量。在这里，有三种可能性不需要升兵（0、1、2），一种需要升兵（3），一种需要升兵（4），等等。现在我们可以将每个因素相乘（分别为皇后、车、象、骑士、兵）。

  (2 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)

来自Wolfram Alpha。

1 到 x^8 的系数，即 0 到 8 所需棋子的可能性数量，分别为 54、135、261、443、693、1024、1450、1986、2648、总和为 8694。

【讨论】：