谷歌代码堵塞：千篇一律

Question

对于千篇一律的问题是否有封闭形式的解决方案？作为参考，这是：google page

*更新为包含问题陈述

问题

在这个问题中，你从 0 个 cookie 开始。通过单击一个巨大的 cookie，您以每秒 2 个 cookie 的速度获得 cookie。只要你有至少 C 个饼干，你就可以买一个饼干农场。每次你购买一个 cookie 农场，它会花费你 C cookie，并且每秒给你额外的 F cookie。

一旦你有 X 块没有花在农场上的 cookie，你就赢了！弄清楚如果您使用最佳策略，您需要多长时间才能获胜。

例子

假设 C=500.0、F=4.0 和 X=2000.0。以下是最佳策略的实施方式：

您从 0 个 cookie 开始，但每秒产生 2 个 cookie。 250 秒后，您将拥有 C=500 饼干，并且可以购买每秒生产 F=4 饼干的农场。 购买农场后，您有 0 个 cookie，您的 cookie 总产量为每秒 6 个 cookie。 下一个农场将花费 500 个饼干，您可以在大约 83.3333333 秒后购买。 购买第二个农场后，您有 0 个 cookie，您的 cookie 总产量为每秒 10 个 cookie。 另一个农场将花费 500 块饼干，您可以在 50 秒后购买。 购买第三个农场后，您有 0 个 cookie，您的 cookie 总产量为每秒 14 个 cookie。 另一个农场需要 500 个 cookie，但实际上不买它是有意义的：相反，您可以等到有 X=2000 个 cookie，这大约需要 142.8571429 秒。

总时间：250 + 83.3333333 + 50 + 142.8571429 = 526.1904762 秒。

请注意，您会连续获得 cookie：因此游戏开始后 0.1 秒您将获得 0.2 个 cookie，游戏开始后 π 秒您将获得 2π cookie。

Answer 1

没有。它不会有任何封闭形式。

算法是这样的，

等待收集 C 多个 cookie。 如果您有 C 多块饼干，请购买一个新农场

 (X-C)/R >= X/(R+F) --- (i)

否则不要购买任何农场并继续收集饼干，直到你有 X 多个饼干。

eqn (i)
LHS is the time for the collecting (X-C) many cookies [collected C many cookies already which I did not spend on buying a farm] with current collecting rate.

RHS is the time for collecting X many cookies with the increased collecting rate.

根据我们的等式，R <= F(X-C)/C

所以答案是，

C/2 + C/2+F + C/2+2F + C/2+3F + ... + C/2+NF + X/2+NF [2 + NF <= F(X-C)/C]
= C(1/2 + 1/2+F + 1/2+2F + ... + 1/2+NF) + X/2+NF = A

假设我们有一个封闭的形式来计算 A

那么对于F = 1, C = 1, X = K

我们有A = (1/2 + 1/3 + .. + 1/2+N) + X/2+N，其中2+N <= (K-1)

=> (1/2 + 1/3 + .. + 1/2+N) = A - X/2+N 也会有一个封闭的形式。

但是，级数 {1/N} 的有限和没有任何封闭形式。所以这两个都没有。

Answer 2

我猜有一个封闭的形式：

请注意，您必须进行比较（因为最好尽可能购买另一个农场，或者永远不要购买另一个农场）

(X-C)/(2+F(n-1)) with X/(2+Fn)，其中 n 是农场的数量。

因此，你只需找到n 这样就可以解决

(X-C)/(2+F(n-1)) = X/(2+Fn).

n=(FX-2C)/CF

如果 n 为正数，则表示您的解是 Floor(n)。否则，n=0 是您的解决方案。

PS：上面的“2”可以用初始生产率代替。