相交集的邻接

Question

给定已知数量的 N 组项目。每个集合恰好包含 D - 1 (N >= D) 个唯一（在集合内）项目。但是 D - 1 个集合之间共享的每个项目。因此，每个集合都有两个“相邻”集合：两个相邻集合仅相差一个元素。此外，每个集合都有（如果 D 足够大）两个更远的相邻集合，它们恰好相差两个元素，等等。所有集合一起形成一个闭合链。

例如有十个元素a x b n q p j t r c。 D = 4。并且集合是（括号中是相邻集合可能排序的提示）：

c x j (1)
p j x (2)
x a p (3)
p a n (4)
n q b (6)
a n q (5)
b r t (8)
b q t (7)
j c r (0)
c t r (9)

=> 相应的项目链是：r c j x p a n q b t。 向后替换的结果生成的示例。但是如何在算法上执行邻域的恢复？

One way is obvious: 简单地枚举所有可能的集合对并比较每一对的集合，无论它们是否完全不同一个元素（也可能有小的优化，但它们并不重要）。

Another way to solve the problem 是为所有可能的 D - 2-有序元素集的元组生成（对于来自输入的每个集合）散列，然后找到碰撞对。有一个知识领域叫Locality-Sensitive Hashing。

在我看来，这两种方法完全相反。散列更快，但意味着调整（桶大小，选择向量元素的散列组合方式等）并且它的大多数操作都有摊销恒定时间。因此，这涉及到一些概率动作。我可以得出结论，对于某些 D 和 N，可能会遇到性能下降。

我怀疑存在一种确定性（在上述意义上）的方法来查找所有相邻（相邻）集合。

Answer 1

这是O(D*N) 解决方案。

如果两个集合恰好有 1 个元素不同，则它们被定义为邻居。例如。 xap 和 pan。

定义N 桶，每个桶都标有一个元素。

1. 将每个集合的副本放在每个关联的存储桶中。例如。存储桶a 包含xap、pan 和anq。
2. 通过选择任何存储桶来启动链，例如a。在桶中找到 3 个组成链的集合。例如。 xap，pan，anq。这些是链中的前 3 套。
3. 根据当前链中的最后两个集合，找到最后一个集合中不在前一个集合中的元素。对于pan 和anq，这是q。转到此存储桶。
4. 在当前桶中，找到与链中最后一个元素相邻的集合。例如。在桶q中，相邻anq的集合是nqb。将此集合添加到链中。转到上一步，直到您回到链的第一组，例如xap。

一个轻微的优化是一旦将集合放入链中，就从存储桶中删除它们。