一阶逻辑公式

Question

如果我想用一阶逻辑表示'集合中具有最小半径的元素的值为0'，下面的说法对吗？

∀ e₁ ∈ S. ∀ e₂ ∈ S. 半径 e₁ ≤ 半径 e₂ ⇒   值 e₁ = 0?

变量的量化是否正确？

谢谢

Answer 1

为了用括号澄清一下，你写的通常是指：

\forall e1 \in S. (\forall e2 \in S. (Radius e1 <= Radius e2 --> Value e1 = 0))

此语句断言每个元素的值都是 0。方法如下：选择任意 e1，现在选择 e2 = e1，我们有：Radius e1 <= Radius e1 --> Value e1 = 0。由于前件（--> 之前的事物）为真，所以我们有 Value e1 = 0。由于我们没有对e1 做出任何假设，所以我们有forall e \in S. Value e = 0。

问题是你的括号是关闭的。

\forall e1 \in S. (\forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2) --> Value e1 = 0

为了使先行词现在为真，e1 的半径必须小于或等于 每个（而不是任何）其他半径，这似乎符合您的预期.

Answer 2

我想你想要一个存在

\存在 e_1 。 (\forall e_2 radius(e_1)

我不确定公式中的优先级，但现在我想我理解了这个问题，也许你想要（其中 M 是最小条件radius(e_1) < radius(e_2)）

\forall e_1 。 ((\forall e_2 . M) -> 值 e_1 = 0)

我认为您之前的公式可能是错误的，原因如下。假设您有半径为 { 0, 1, 2 } 且值等于半径的元素。然后，您将遇到 1

\forall e_1 。 \forall e_2 。 P(e_1, e_2)

那么这个反例提供了一个 P 为假的情况，因此整个公式都失败了（但这个例子应该是真的）。​​

Answer 3

如果没有半径最小的元素，你写的也是正确的。如果这是需要的，那么您是正确的；如果没有，您需要添加一个子句：

(\forall e1 \in S. \forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2 --> Value e1 = 0) \and (\exists e1 \in S. \forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2)