Coq - 在 if ... then ... else 中使用 Prop (True

【问题标题】：Coq - use Prop (True | False) in if ... then ... elseCoq - 在 if ... then ... else 中使用 Prop (True | False)
【发布时间】：2012-12-21 02:30:46
【问题描述】：

我对 Coq 有点陌生。

我正在尝试实现插入排序的通用版本。我正在实现的是作为一个以比较器为参数的模块。该 Comparator 实现了比较运算符（如 is_eq、is_le、is_neq 等）。

在插入排序中，为了插入，我必须比较输入列表中的两个元素，并根据比较结果，将元素插入到正确的位置。

我的问题是比较运算符的实现是type -> type -> prop（我需要它们像这样来实现其他类型/证明）。如果可以避免，我宁愿不创建运算符的type -> type -> bool 版本。

有什么方法可以将 True | False 属性转换为布尔值以在 if ... then ... else 子句中使用？

比较器模块类型：

Module Type ComparatorSig.

  Parameter X: Set.
  Parameter is_eq : X -> X -> Prop.
  Parameter is_le : X -> X -> Prop.
  Parameter is_neq :  X -> X -> Prop.

  Infix "=" := is_eq (at level 70).
  Infix "<>" := (~ is_eq) (at level 70).
  Infix "<=" := is_le (at level 70).

  Parameter eqDec : forall x y : X, { x = y } + { x <> y }.

  Axiom is_le_trans : forall (x y z:X), is_le x y -> is_le y z -> is_le x z.

End ComparatorSig.

自然数的实现：

Module IntComparator <: Comparator.ComparatorSig.
  Definition X := nat.
  Definition is_le x y := x <= y.
  Definition is_eq x y := eq_nat x y.
  Definition is_neq x y:= ~ is_eq  x y.

  Definition eqDec := eq_nat_dec.

  Definition is_le_trans := le_trans.
End IntComparator.

插入排序的插入部分：

  Fixpoint insert (x : IntComparator .X) (l : list IntComparator .X) :=
    match l with
      | nil => x :: nil
      | h :: tl => if IntComparator.is_le x h then x :: h :: tl else h :: (insert x tl)
    end.

（显然，插入固定点不起作用，因为 is_le 返回的是 Prop 而不是 bool）。

感谢任何帮助。

【问题讨论】：

标签： coq

【解决方案1】：

你似乎对 Prop 有点困惑。

is_le x y 是 Prop 类型，是语句 x is less or equal to y。这不能证明这种说法是正确的。证明此陈述正确的证据是 p : is_le x y，该类型的居民（即该陈述真实性的见证人）。

这就是为什么在 IntComparator.is_le x h 上进行模式匹配没有多大意义。

更好的界面如下：

Module Type ComparatorSig.

  Parameter X: Set.
  Parameter is_le : X -> X -> Prop.
  Parameter is_le_dec : forall x y, { is_le x y } + { ~ is_le x y }.

特别是，is_le_dec 的类型是属性is_le 的决策过程的类型，即它返回x <= y 的证明或~ (x <= y) 的证明。由于这是具有两个构造函数的类型，因此您可以利用 if 糖：

... (if IntComparator.is_le_dec x h then ... else ...) ...

从某种意义上说，这是一个增强的bool，它返回一个见证它试图决定的东西。有问题的类型称为sumbool，您可以在此处了解它： http://coq.inria.fr/library/Coq.Init.Specif.html#sumbool

一般来说，在执行代码时谈论True或False是没有意义的。

首先，因为它们存在于Prop，这意味着它们不能与计算相关，因为它们将被删除。

第二，因为他们不是Prop 的唯一居民。虽然true 和false 是bool 类型的唯一值，这意味着您可以进行模式匹配，但Prop 类型包含无限数量的元素（您可以想象的所有语句），因此它没有尝试对 Prop 类型的元素进行模式匹配是有意义的。

【讨论】：