如何在 MATLAB 中选择高斯消元法求解 Ax=b？

Question

我有一个关于求解线性方程Ax=b的问题，其中x未知，A是方阵NxN和非奇异矩阵。

向量x可以解出

x=inv(A)*b 

或

x=A\b 

在 Matlab 中，“\”命令调用的算法取决于矩阵 A 的结构，并包括对 A 属性的检查（小开销）。因此，它高度依赖于 A 结构。但是，A 结构是未知的（即随机矩阵）。我想测量上述方程的复杂性。因此，为了公平比较，我需要修复我使用的方法。在这种情况下，我选择具有复杂性的高斯消除 (GE) O(N^3) 我的问题是如何选择/修复解决上述方程的方法（即 GE）？

Answer 1

一种方法是计算 LU 分解（假设 A 不是对称的）

[L,U] = lu(A)

其中 L 是具有单位对角线的下三角矩阵的置换，U 是上三角矩阵。这相当于高斯消元法。 然后，当您求解 Ax = b 时，实际上您首先执行的是 Ly = b，然后是 Ux = y。 重要的是求解这些线性系统本质上是 O(n^2)，而计算因式分解是 O(n^3)。因此，如果 n 很大，您可以只测量计算 LU 分解所花费的时间。

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对于随机矩阵，你可以看到像这样的 LU 分解的复杂性

nn = round(logspace(2, 4, 20)) ;
time = zeros(size(nn)) ;
for i = 1:numel(nn)
    A = rand(nn(i),nn(i)) ;
    tic() ; [L,U] = lu(A) ;
    time(i) = toc() ;
end
loglog(nn,time) ;

（将“4”更改为更大或更小，具体取决于您的电脑）。 在我的笔记本电脑上，我有这个结果

其中 3 的斜率（因此，O(n^3) 复杂度）相当清楚。