在 Matlab 中求解具有 x 约束的方程组答案

【问题标题】：Solve a system of equations with a constraint to x in Matlab在 Matlab 中求解具有 x 约束的方程组
【发布时间】：2014-11-26 14:51:46
【问题描述】：

我给出了一个nxn 上三角矩阵R，我想求解方程组Rx=0，其中x 是一个大小为n 的向量。此外，R 的最低对角线是0 (R(n,n)=0)。因此我想设置x(n)=1。

我尝试了一些循环，但我不知道如何解决它。

感谢您的帮助。

【问题讨论】：

标签： matlab constraints equation-solving triangular

【解决方案1】：

保证R的特征值为零，而你想要的解是该特征值对应的特征向量的倍数。让我们先创建一些矩阵 R：

>> R = triu(rand(3, 3));
>> R(3, 3) = 0;
>> R

R = 

    0.8147    0.9134    0.2785
         0    0.6324    0.5469
         0         0         0

现在让我们获取特征值和特征向量：

>> [V, E] = eig(R)

V =

    1.0000   -0.9806    0.4289
         0    0.1958   -0.5909
         0         0    0.6833


E =

    0.8147         0         0
         0    0.6324         0
         0         0         0

特征向量是 E 的对角元素

>> E = diag(E);
>> index = find(abs(E) < 1e-16); %// NB don't use find(E==0) because of fp problems...

现在拉出正确的特征向量

>> v = V(:, index);

并确保其最终元素等于 1

>> v = v / v(end)

v =

    0.6277
   -0.8648
    1.0000

您可以检查这是否是您想要的解决方案

>> R * v

ans =

     0
     0
     0

【讨论】：

我用 triu(rand(6,6)) 尝试了你的例子，并将最后 3 个对角线元素定义为 0 (R(4,4)=0, R(5,5)=0. R(6,6)=0) 并且您的解决方案在那里不起作用。
那是因为你问我最后一个对角线条目 R(6,6) 为零的解决方案。当有多个零对角线条目时，它没有理由也可以工作。