单源最短路径问题的算法

Question

给定一个有向图 G = (V, E)，具有正边和负边​​权重，但没有循环。让 s ∈ V 是给定的源顶点。如何找到一种算法来找到所有顶点到 s 的距离，它的运行速度可能比 Bellman Ford 的 O(VE) 时间复杂度要快。

Answer 1

如果图没有环，那么你可以按拓扑顺序处理顶点。

对于每个顶点v，如果它可以从距离d的s到达，那么对于每个边(v,u ) 权重 w，将 u 标记为可达权重 d+w。如果 u 已经可以以较低的权重到达，则不要理会它。

因为你按照拓扑顺序处理图，你知道当你处理一个顶点v时，你已经处理了它的所有前辈，所以你会知道它的最短路径的长度从 s。第一个可达的顶点当然是s。

很容易将它与Kahn's algorithm 结合起来进行拓扑排序，在从 s 可到达的顶点子图上。

1. 首先进行 BFS 搜索以找到从 s 可到达的所有顶点，并同时计算该子集中每个顶点的传入边。
2. s 将是计数为“0”的唯一顶点。它与 s 的距离也已知为 0。放入队列中。
3. 虽然队列中有顶点：
   1. 从队列中移除一个顶点v
   2. 调整与邻居的距离
   3. 减少其邻居的传入边数。如果任何邻居的计数为 0，则将其放入队列中。

完成后，所有可到达的顶点都将被处理，并且它们的所有距离都是已知的。