2D 线性插值：数据和插值点

Question

考虑这个 y(x) 函数：

我们可以在文件中生成这些散点的位置：dataset_1D.dat:

# x   y   
0   0
1   1
2   0
3   -9
4   -32

以下是这些点的一维插值代码：

1. 加载这个散点

2. 创建x_mesh

3. 执行一维插值

代码：

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp2d, interp1d, interpnd
import matplotlib.pyplot as plt


# Load the data:    
x, y  = np.loadtxt('./dataset_1D.dat', skiprows = 1).T

# Create the function Y_inter for interpolation:
Y_inter = interp1d(x,y)

# Create the x_mesh:    
x_mesh = np.linspace(0, 4, num=10)
print x_mesh

# We calculate the y-interpolated of this x_mesh :   
Y_interpolated = Y_inter(x_mesh)
print Y_interpolated

# plot:

plt.plot(x_mesh, Y_interpolated, "k+")
plt.plot(x, y, 'ro')
plt.legend(['Linear 1D interpolation', 'data'], loc='lower left',  prop={'size':12})
plt.xlim(-0.1, 4.2)
plt.grid()
plt.ylabel('y')
plt.xlabel('x')
plt.show()

这绘制了以下内容：

现在，考虑这个 z(x,y) 函数：

我们可以在文件中生成这些散点：dataset_2D.dat：

# x    y    z
0   0   0
1   1   0
2   2   -4
3   3   -18
4   4   -48

在这种情况下，我们必须执行 2D 插值：

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d, interp2d, interpnd
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Load the data:
x, y, z  = np.loadtxt('./dataset_2D.dat', skiprows = 1).T

# Create the function Z_inter for interpolation:
Z_inter = interp2d(x, y, z)

# Create the x_mesh and y_mesh :
x_mesh = np.linspace(1.0, 4, num=10)
y_mesh = np.linspace(1.0, 4, num=10)
print x_mesh
print y_mesh

# We calculate the z-interpolated of this x_mesh and y_mesh :
Z_interpolated = Z_inter(x_mesh, y_mesh)
print Z_interpolated
print type(Z_interpolated)
print Z_interpolated.shape

# plot: 
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.scatter(x, y, z, c='r', marker='o')
plt.legend(['data'], loc='lower left',  prop={'size':12})
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')

plt.show()

这绘制了以下内容：

分散的数据再次以红点显示，与二维图保持一致。

1. 我不知道如何解释Z_interpolated结果：

   根据上述代码的打印行， Z_interpolated 是一个 n 维 numpy 数组，形状为 (10,10)。换句话说，一个 10 行 10 列的二维矩阵。

我希望 x_mesh[i] 和 y_mesh[i] 的每个值都有一个插入的 z[i] 值，为什么我没有收到这个？

1. 如何在 3D 图中也绘制插值数据（就像 2D 图中的黑色十字）？

Answer 1

Z_interpolated的解释：你的一维x_mesh和y_mesh定义了一个mesh on which to interpolate。因此，您的二维插值返回 z 是一个二维数组，其形状 (len(y), len(x)) 与 np.meshgrid(x_mesh, y_mesh) 匹配。如您所见，您的 z[i, i] 是 x_mesh[i] 和 y_mesh[i] 的预期值，而不是 z[i]。它还有更多，网格上的所有值。

显示所有插值数据的潜在图：

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.interpolate import interp2d

# Your original function
x = y = np.arange(0, 5, 0.1)
xx, yy = np.meshgrid(x, y)
zz = 2 * (xx ** 2) - (xx ** 3) - (yy ** 2)

# Your scattered points
x = y = np.arange(0, 5)
z = [0, 0, -4, -18, -48]

# Your interpolation
Z_inter = interp2d(x, y, z)
x_mesh = y_mesh = np.linspace(1.0, 4, num=10)
Z_interpolated = Z_inter(x_mesh, y_mesh)

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
# Plot your original function
ax.plot_surface(xx, yy, zz, color='b', alpha=0.5)
# Plot your initial scattered points
ax.scatter(x, y, z, color='r', marker='o')
# Plot your interpolation data
X_real_mesh, Y_real_mesh = np.meshgrid(x_mesh, y_mesh)
ax.scatter(X_real_mesh, Y_real_mesh, Z_interpolated, color='g', marker='^')
plt.show()

Answer 2

您需要两步插值。第一个在 y 数据之间进行插值。第二个在 z 数据之间进行插值。然后用两个插值数组绘制x_mesh。

x_mesh = np.linspace(0, 4, num=16)

yinterp = np.interp(x_mesh, x, y)
zinterp = np.interp(x_mesh, x, z)

ax.scatter(x_mesh, yinterp, zinterp, c='k', marker='s')

在下面的完整示例中，我还在 y 方向添加了一些变化，以使解决方案更通用。

u = u"""# x    y    z
0   0   0
1   3   0
2   9   -4
3   16   -18
4   32   -48"""

import io
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Load the data:
x, y, z  = np.loadtxt(io.StringIO(u), skiprows = 1, unpack=True)

x_mesh = np.linspace(0, 4, num=16)

yinterp = np.interp(x_mesh, x, y)
zinterp = np.interp(x_mesh, x, z)

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.scatter(x_mesh, yinterp, zinterp, c='k', marker='s')
ax.scatter(x, y, z, c='r', marker='o')
plt.legend(['data'], loc='lower left',  prop={'size':12})
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')

plt.show()

对于使用scipy.interpolate.interp1d，解决方案基本相同：

u = u"""# x    y    z
0   0   0
1   3   0
2   9   -4
3   16   -18
4   32   -48"""

import io
import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Load the data:
x, y, z  = np.loadtxt(io.StringIO(u), skiprows = 1, unpack=True)

x_mesh = np.linspace(0, 4, num=16)

fy = interp1d(x, y, kind='cubic')
fz = interp1d(x, z, kind='cubic')

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.scatter(x_mesh, fy(x_mesh), fz(x_mesh), c='k', marker='s')
ax.scatter(x, y, z, c='r', marker='o')
plt.legend(['data'], loc='lower left',  prop={'size':12})
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')

plt.show()