“范数”是否等同于“欧几里得距离”？

Question

我不确定“范数”和“欧几里得距离”是否是同一个意思。请你帮我解决这个区别。

我有一个n by m 数组a，其中m > 3。我想计算第二个数据点a[1,:] 到所有其他点（包括它自己）之间的欧几里得距离。所以我使用了np.linalg.norm，它输出两个给定点的范数。但我不知道这是否是获得 ED 的正确方法。

import numpy as np

a = np.array([[0, 0, 0 ,0 ], [1, 1 , 1, 1],[2,2, 2, 3], [3,5, 1, 5]])
N = a.shape[0] # number of row
pos = a[1,:] # pick out the second data point. 
dist = np.zeros((N,1), dtype=np.float64)

for i in range(N):
    dist[i]= np.linalg.norm(a[i,:] - pos)

Answer 1

norm 是一个函数，它将向量作为输入并返回一个标量值，该值可以解释为该向量的“大小”、“长度”或“大小”。更正式地说，规范被定义为具有以下数学属性：

• 它们以乘法方式缩放，即 Norm(a·v) = |a|·Norm(v) 用于任何标量 一个
• 它们满足三角不等式，即Norm(u + v) ≤ Norm(u) + Norm(v)
• 向量的范数为零当且仅当它是零向量，即 Norm(v) = 0 ⇔ v = 0

欧几里得范数（也称为 L² 范数）只是许多不同范数中的一种 - 还有最大范数、曼哈顿范数等。单个向量的 L² 范数相当于到该点的欧几里得距离到原点，两个向量之差的L²范数等于两点之间的欧几里得距离。

---

正如 @nobar 的回答所说，np.linalg.norm(x - y, ord=2)（或只是 np.linalg.norm(x - y)）将为您提供向量 x 和 y 之间的欧几里得距离。

由于您想计算a[1, :] 和a 中的每一行之间的欧几里得距离，您可以通过消除for 循环并在a 的行上广播来更快地完成此操作：

dist = np.linalg.norm(a[1:2] - a, axis=1)

使用广播自己计算欧几里得距离也很容易：

dist = np.sqrt(((a[1:2] - a) ** 2).sum(1))

最快的方法大概是scipy.spatial.distance.cdist：

from scipy.spatial.distance import cdist

dist = cdist(a[1:2], a)[0]

---

(1000, 1000) 数组的一些计时：

a = np.random.randn(1000, 1000)

%timeit np.linalg.norm(a[1:2] - a, axis=1)
# 100 loops, best of 3: 5.43 ms per loop

%timeit np.sqrt(((a[1:2] - a) ** 2).sum(1))
# 100 loops, best of 3: 5.5 ms per loop

%timeit cdist(a[1:2], a)[0]
# 1000 loops, best of 3: 1.38 ms per loop

# check that all 3 methods return the same result
d1 = np.linalg.norm(a[1:2] - a, axis=1)
d2 = np.sqrt(((a[1:2] - a) ** 2).sum(1))
d3 = cdist(a[1:2], a)[0]

assert np.allclose(d1, d2) and np.allclose(d1, d3)

Answer 2

“范数”的概念是数学中的一个广义概念，当应用于向量（或向量差）时，它广泛地表示某种长度度量。计算范数有多种不同的方法，但一种称为欧几里得距离的方法称为“2-范数”，它基于应用 2 的指数（“平方”），并在求和后应用 1/2 的指数（“平方根”）。

---

在the docs 中有点神秘，但是通过设置参数ord=2 可以得到两个向量之间的欧几里得距离。

sum(abs(x)**ord)**(1./ord)

变成sqrt(sum(x**2))。

注意：正如@Holt 所指出的，默认值是ord=None，它被记录用于计算向量的“2 范数”。因此，这相当于ord=2（欧几里得距离）。