我正在研究管理 Monoids 的定律，两个定律之一规定附加操作必须是关联的。对于函数组合，这意味着对于给定的所有函数X->X，有 3 个函数 f、g 和 h (f∘g)∘h=f∘(g∘h)
在 scalaz 中，我看到有一种称为 EndoMonoid 的类型，它使用 compose 进行追加，这与普通函数组合的工作方式不同
val f : Int => Int = x => x*x
val g : Int => Int = y => y + 1
val e = f.endo |+| g.endo
val d = g.endo |+| f.endo
e run 10
Int = 121
d run 10
Int = 101
从上面的结果可以看出，函数不满足关联属性。这是否意味着并非所有X -> X 类型的函数都是幺半群？
【问题讨论】：
从您的示例中看不到您声称的内容。
您的示例仅证明函数组合不可交换。但是函数组合从来不应该是可交换的：如果它是可交换的，那么所有数学和编程都会灾难性地崩溃到 counting 基本操作的出现次数（也就是说，如果“计数”本身能够以某种方式存在）那...我不确定这是否可能）。
为了演示一个关联性的例子，你需要第三个函数h: Int => Int，然后你要比较
(f.endo |+| g.endo) |+| h.endo
对比
f.endo |+| (g.endo |+| h.endo)
完全按照规则（您自己刚刚引用的！）声明。
每组自同态总是一个幺半群，因为范畴本质上只是“具有许多对象的幺半群”，而幺半群只是“具有单个对象的范畴”。如果您采用 any 类别，然后查看单个对象的自同态，根据定义，您会自动获得一个幺半群。对于普通函数的规范环境“类别”尤其如此。 [这里应该是通常的免责声明，它不是一个真正的类别，并且在每一种真正的编程语言中没有什么是真正的]
【讨论】：
f.endo |+| (g.endo |+| h.endo) 的情况下，首先评估括号内的函数，因此在上述情况下，它将是f(g(h(x)) 与(f.endo |+| g.endo ) |+| h.endo，其中它会被评估为h(f(g(x)))，但我现在相信括号没有意义，因为函数的append 规则是 f compose g compose h ，无论括号放在哪里。请指教。
true || (true && {println("Hey!"); true})，则根本不会评估括号中的内容。在您的问题中，f o (g o h) 表示先组合g 和h，然后再组合f 与(g o h)。同样，(f o g) o h 表示：f 和g 先组合，然后(f o g) 与h 组合。关联性意味着：这两件事本质上是相同的。