R wilcox.test() 中的正态近似

Question

我对 wilcox.test() 函数中的正态近似有疑问。

我直观地期望这些计算的结果是相同的：

vec1 <- c(10,11,12)
wilcox.test(vec1,rep(0,10),exact=FALSE,correct = FALSE)
wilcox.test(vec1,c(runif(8),0,0),exact=FALSE,correct=FALSE)

但这远非如此。 （0.0006056 与 0.01112）

来自 wilcox.test 文档：

“如果样本包含的有限值少于 50 个并且没有关联，则计算精确的 p 值。否则，使用正态近似值。”

我不清楚如何根据文档计算正态近似值。 网上搜了一下（比如wiki，Mann-Whitney U-test），好像可以这样计算：

U = sum of ranks of vec1 (-1 in R)
mU = length(vec1)*length(vec2)/2
sdU = sqrt(length(vec1)*length(vec2)*(length(vec1)+length(vec2)+1)/12)
z = (U-mU)/sdU
pval = 2*pnorm(-abs(z)) 

但由于本例中 U 和向量长度相同，这显然不是 R 计算正态逼近的方式。

所以我的问题是如何通过 R 中的 wilcox.test() 计算正态近似值。

Answer 1

与上述公式的不一致是由于在方差计算中考虑到了平局。下面是wilcox.test 代码取自 R source

NTIES <- table(r)
z <- STATISTIC - n.x * n.y / 2
SIGMA <- sqrt((n.x * n.y / 12) *
    ((n.x + n.y + 1) - sum(NTIES^3 - NTIES) 
    / ((n.x + n.y) * (n.x + n.y - 1))))

其中n.x、n.y 是第一个和第二个样本的长度，r 是组合样本的秩向量。

顺便把varU改成其他名字，因为你取平方根。