如果您使用 Gimp 或 Photoshop 等图形编辑程序，您就会明白我的意思。要在这些程序上编辑曲线（可能是贝塞尔曲线），我们可以点击曲线，拖动鼠标，曲线会相应地改变。我怀疑这个机制背后的所有东西都与向量有关，但我找不到任何文件提到如何做到这一点。谁能告诉我我该怎么做？非常感谢。
[编辑] 我的意思是选择曲线本身来改变（编辑）它（点击曲线，然后拖动曲线来编辑它）。通常，我们选择控制点来改变曲线。我知道要更改曲线，我需要编辑控制点，但是如何将曲线上的更改解释为对控制点的更改？
【问题讨论】：
有多种方法可以完成您所看到的内容，具体取决于您希望它的行为方式。我将解释一些通过点对曲线操作来修改贝塞尔曲线的更简单方法。
首先要做的是找出用户点击曲线的参数值（t）。这通常是一个近似值。如果您正在对 Bezier 进行像素或子像素渲染，那么只需记录每个像素的 t 值并使用它。如果要细分成线段，看哪条线段最近，找到两个端点的 t 值，根据沿线的距离调整 t 值。
获得 t 值后，您可以将其代入贝塞尔曲线方程。你最终会得到以下形式的东西：
P = k0*P0 + k1*P1 + k2*P2 + k3*P3
其中 P 是曲线上的点，P0、P1、P2 和 P3 是输入控制点，k0、k1、k2 和 k3 是给定 t 的常数。我将 k 值称为“贡献”，或者更具体地说，控制点对曲线 P(t) 上的点的贡献。要记住的一个很好的属性是 k0+k1+k2+k3 = 1。
因此，假设您有一个向量 V = P' - P，其中 P' 是新位置，P 是原始位置。我们需要移动一些控制点以使 P' 到达它需要去的地方，但是对于我们想要移动哪些控制点，我们有一些灵活性。任何非零贡献的点都可以使用，或者某种组合。
假设用户在 t=0 时点击了曲线。在这种情况下，只有 k0 是非零的，所以
P0 := P0 + V
会产生正确的结果。这也可以写成
P0 := P0 + k0 * V
在所有贡献都非零的一般情况下，您可以对每个点应用相同的变换，这将产生非常平滑、展开的变形效果。
另一种选择是简单地将控制点以最大贡献移动整个距离。我认为要使用的方程式类似于
Pmax := Pmax + 1/kmax * V
但无论哪种方式，它都归结为查看给定 t 值的贡献，并移动控制点，使新点位于所需位置。
这种方法相当通用，适用于 NURBS 和大多数其他样条线，甚至是曲面。还有另一种相当常见的方法，它使用 Greville Abscissae，它尽可能多地固定点，但根据我的经验，它太容易产生振荡。
【讨论】：
C(t) = (1-t)³ * P0 + 3*(1-t)²*t * P1 + 3*(1-t)*t² * P2 + t³ * P3 |因此，k0 = (1-t)³ | k1 = 3.0 * (1-t)² * t | k2 = 3*(1-t)*t² | k3 = t³ |每当t 发生变化时，所有这些 k 值也会发生变化。 (desmos.com/calculator/sx8vx9is7b)
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为了能够选择曲线本身来移动控制点，我建议贝塞尔曲线绝对不是前进的方向 - 您必须反向求解方程才能找到正确的控制点位置.您还会发现，在某些情况下，实际上不可能移动控制点以使曲线到达您想要的位置。
如果您使用的是 B 样条曲线，那么您只需在曲线上最靠近用户单击位置的点处插入一个新控制点，然后移动新控制点。因此，实际上，您将添加一个新的控制点。
原文
假设您已经有一个贝塞尔曲线的实现，给定一组控制点（贝塞尔曲线通常是三个，但可以任意多）可以生成一组与显示设备上的线连接的点（通常您使用0 >= u <= 1 参数方程），那么这很容易。
您的控制点决定了曲线的走向，因此您只需要实现选择反馈并在这些控制点上拖放即可。
但是，如果您正在寻找精确的点匹配，贝塞尔曲线并不理想，因为它们只通过第一个和最后一个控制点。添加到曲线上的点越多，它们变得越不准确。
B-Splines 会更好，这些变体是您在 Photoshop 等中实际看到的。
【讨论】：
拖动只是改变了贝塞尔曲线的控制点，并相应地重新计算曲线。请参阅Wikipedia，了解它们的工作原理。
【讨论】：
请说明你想做什么？您想在应用程序中编辑贝塞尔曲线吗？你对它背后的一般数学感兴趣吗？
通常您操作用于生成贝塞尔曲线的控制点。
【讨论】：
好的，所以让我们假设您必须使用贝塞尔曲线，因为您使用的是一个将它们作为基元的渲染库。如果您完全赞同在曲线本身上使用控制点的想法，您可以使用此处概述的方法插入控制点：How to find control points for a BezierSegment given Start, End, and 2 Intersection Pts in C# - AKA Cubic Bezier 4-point Interpolation
换句话说，对于曲线上的每组 4 个点，您将运行上述算法并获得绘制三次贝塞尔曲线所需的 4 个控制点。
【讨论】：
请参阅 github.com/bootchk/freehandTool 了解对象模型
用户拖动。将拖动投影到最近的控制点或控制点之间的手臂上。将拖动解释为所述最近控制点的旋转和/或平移（变换）。注意复数：最近的可能是两条线段的重合控制点（端点），也可能是贝塞尔线段臂的控制点。
【讨论】：