在我的特定情况下，该图表示为邻接列表，并且是无向且稀疏的，n 可以以百万计，d 为 3。计算 A^d（其中 A 是邻接矩阵）并挑选出非零条目有效，但我想要不涉及矩阵乘法的东西。对每个顶点进行广度优先搜索也是一种选择，但速度很慢。
【问题讨论】：
标签： algorithm graph path shortest
def find_d(graph, start, st, d=0):
if d == 0:
st.add(start)
else:
st.add(start)
for edge in graph[start]:
find_d(graph, edge, st, d-1)
return st
graph = { 1 : [2, 3],
2 : [1, 4, 5, 6],
3 : [1, 4],
4 : [2, 3, 5],
5 : [2, 4, 6],
6 : [2, 5]
}
print find_d(graph, 1, set(), 2)
【讨论】：
假设我们有一个函数verticesWithin(d,x)，它可以找到距离d与顶点x之间的所有顶点。
解决此类问题的一个好策略是公开缓存/记忆机会，提出以下问题：此问题的子问题如何相互关联？
在这种情况下，如果d >= 1 是范围内所有i 的vertices(d-1,y[i]) 的并集，我们可以看到verticesWithin(d,x)，其中y=verticesWithin(1,x)。如果是d == 0，那么它就是{x}。 （我假设一个顶点与自身的距离为 0。）
在实践中，您需要查看d == 1 案例的邻接列表，而不是使用该关系，以避免无限循环。您还需要避免将x 本身视为y 的成员的冗余。
另外，如果verticesWithin(d,x) 的返回类型从简单列表或集合更改为表示与x 之间距离增加的d 集合列表，则
verticesWithin(d,x) = init(verticesWithin(d+1,x))
其中init 是生成列表中除最后一个之外的所有元素的函数。显然，如果按字面翻译成代码，这将是一个非终止递归关系，因此您必须对如何实现它有点聪明。
配备了这些子问题之间的关系，我们现在可以缓存verticesWithin 的结果，并使用这些缓存的结果来避免执行冗余遍历（尽管以执行一些集合操作为代价——我不完全确定这是一场胜利）。我将把它作为一个练习来填写实现细节。
【讨论】：
您已经提到了计算A^d 的选项，但这比您需要的要多得多（正如您已经说过的那样）。
但是，有一种更便宜的方式来使用这个想法。假设您有一个（列）向量v，由 0 和 1 组成，表示一组顶点。向量w := A v 现在在每个节点上都有一个，可以从起始节点精确地一步到达。迭代，u := A w 对每个节点都有一个，你可以通过两个步骤从起始节点到达，等等。
对于d=3，您可以执行以下操作（MATLAB 伪代码）：
v = j'th unit vector
w = v
for i = (1:d)
v = A*v
w = w + v
end
向量w 现在对于每个节点都有一个正条目，可以从jth 节点访问最多d 个步骤。
【讨论】：
w。 A^d * v（以迭代或其他方式计算）具有与 w 相同的非零元素。
在这种情况下，从给定顶点开始的广度优先搜索是最佳解决方案。您将找到距离 d 内的所有顶点，您甚至不会访问距离 >= d + 2 的任何顶点。
这里是递归代码，但如果需要，可以使用队列轻松消除递归。
// Returns a Set
Set<Node> getNodesWithinDist(Node x, int d)
{
Set<Node> s = new HashSet<Node>(); // our return value
if (d == 0) {
s.add(x);
} else {
for (Node y: adjList(x)) {
s.addAll(getNodesWithinDist(y,d-1);
}
}
return s;
}
【讨论】：