Scipy.optimize.curve_fit 不符合余弦幂律

Question

几个小时以来，我一直在尝试将模型拟合到（生成的）数据集，作为我一直在努力解决的问题的原因。我为函数 f(x) = A*cos^n(x)+b 生成了数据点，并添加了一些噪声。当我尝试用这个函数和curve_fit拟合数据集时，我得到了错误

./tester.py:10: RuntimeWarning: invalid value encountered in power
return Amp*(np.cos(x))**n + b
/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/optimize/minpack.py:690: OptimizeWarning: Covariance of the parameters could not be estimated  category=OptimizeWarning)

我用来生成数据点并拟合模型的代码如下：

#!/usr/bin/env python

from __future__ import print_function
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
from matplotlib.pyplot import figure, show, rc, plot

def f(x, Amp, n, b):

    return np.real(Amp*(np.cos(x))**n + b)

x = np.arange(0, 6.28, 0.01)
randomPart = np.random.rand(len(x))-0.5
fig = figure()
sample = f(x, 5, 2, 5)+randomPart
frame = fig.add_subplot(1,1,1)

frame.plot(x, sample, label="Sample measurements")

popt, pcov = curve_fit(f, x, sample, p0=(1,1,1))

modeldata = f(x, popt[0], popt[1], popt[2])
print(modeldata)
frame.plot(x, modeldata, label="Best fit")

frame.legend()
frame.set_xlabel("x")
frame.set_ylabel("y")

show()

显示噪声数据 - 见下图。

你们中有人知道发生了什么吗？我怀疑它与进入复数域的幂律有关，因为函数的实部是nowhere divergent。我已经尝试只返回函数的实部，在curve_fit中设置现实的界限，并且已经使用numpy数组而不是p0的python列表。我正在运行我可用的最新版本的 scipy，scipy 0.17.0-1。

Answer 1

问题如下：

>>> (-2)**1.1
(-2.0386342710747223-0.6623924280875919j)
>>> np.array(-2)**1.1
__main__:1: RuntimeWarning: invalid value encountered in power
nan

与原生 python 浮点数不同，numpy doubles 通常拒绝参与导致复杂结果的操作：

>>> np.sqrt(-1)
__main__:1: RuntimeWarning: invalid value encountered in sqrt
nan

作为一种快速解决方法，我建议在您的函数中添加一个np.abs 调用，并使用适当的边界进行拟合，以确保这不会产生虚假拟合。如果您的模型接近事实并且您的样本（我的意思是样本中的余弦）是正数，那么在它周围添加一个绝对值应该是无操作的（更新：我意识到情况并非如此，请参阅正确的方法下面）。

def f(x, Amp, n, b):

    return Amp*(np.abs(np.cos(x)))**n + b # only change here

有了这个小小的改变，我得到了这个：

作为参考，拟合的参数是(4.96482314, 2.03690954, 5.03709923])，与(5,2,5)的生成相比。

---

经过深思熟虑后，我意识到余弦总是对于你的一半域是负数（duh）。所以我建议的解决方法可能有点问题，或者至少它的正确性不是微不足道的。另一方面，考虑包含cos(x)^n 的原始公式，cos(x) 的值为负值，这仅在n 是整数时才有意义，否则会得到复杂的结果。由于我们无法解决Diophantine的拟合问题，我们需要妥善处理。

最合适的方法（我的意思是最不可能使您的数据产生偏差的方法）是：首先使用将您的数据转换为复数的模型进行拟合，然后在输出上取复数：

def f(x, Amp, n, b):

    return Amp*np.abs(np.cos(x.astype(np.complex128))**n) + b

这显然比我的解决方法效率低得多，因为在每个拟合步骤中，我们都会创建一个新网格，并以复杂算术和额外幅度计算的形式做一些额外的工作。即使没有设置边界，这也给了我以下拟合：

参数为(5.02849409, 1.97655728, 4.96529108)。这些也很接近。但是，如果我们将这些值放回实际模型中（没有np.abs），我们会得到与-0.37 一样大的虚部，这不是压倒性的，而是意义重大的。

所以第二步应该是用一个合适的模型重新拟合——一个具有整数指数的模型。取从您的拟合中显而易见的指数 2，并使用此模型进行新拟合。我不相信任何其他方法都能为您提供数学上合理的结果。也可以从原文popt开始，希望确实接近真相。当然，我们可以使用带有一些柯里化的原始函数，但使用模型的专用双特定版本要快得多。

from __future__ import print_function
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
from matplotlib.pyplot import subplots, show

def f_aux(x, Amp, n, b):
    return Amp*np.abs(np.cos(x.astype(np.complex128))**n) + b

def f_real(x, Amp, n, b):
    return Amp*np.cos(x)**n + b


x = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)  # pi
randomPart = np.random.rand(len(x)) - 0.5
sample = f(x, 5, 2, 5) + randomPart

fig,(frame_aux,frame) = subplots(ncols=2)
for fr in frame_aux,frame:
    fr.plot(x, sample, label="Sample measurements")
    fr.legend()
    fr.set_xlabel("x")
    fr.set_ylabel("y")

# auxiliary fit for n value
popt_aux, pcov_aux = curve_fit(f_aux, x, sample, p0=(1,1,1))

modeldata = f(x, *popt_aux)
#print(modeldata)
print('Auxiliary fit parameters: {}'.format(popt_aux))
frame_aux.plot(x, modeldata, label="Auxiliary fit")

# check visually, test if it's close to an integer, but otherwise
n = np.round(popt_aux[1])

# actual fit with integral exponent
popt, pcov = curve_fit(lambda x,Amp,b,n=n: f_real(x,Amp,n,b), x, sample, p0=(popt_aux[0],popt_aux[2]))

modeldata = f(x, popt[0], n, popt[1])
#print(modeldata)
print('Final fit parameters: {}'.format([popt[0],n,popt[1]])) 
frame.plot(x, modeldata, label="Best fit")

frame_aux.legend()
frame.legend()

show()

请注意，我在您的代码中更改了一些并不会真正影响我的观点的内容。上图，所以既显示了辅助配合又显示正确的那张：

输出：

Auxiliary fit parameters: [ 5.02628994  2.00886409  5.00652371]
Final fit parameters: [5.0288141074549699, 2.0, 5.0009730316739462]

重申一下：虽然辅助拟合和正确拟合之间可能没有视觉差异，但只有后者才能为您的问题提供有意义的答案。