在二进制表示法中，小数点“.”之后的数字是什么意思？答案

【问题标题】：In binary notation, what is the meaning of the digits after the radix point "."?在二进制表示法中，小数点“.”之后的数字是什么意思？
【发布时间】：2013-03-07 22:13:27
【问题描述】：

我有一个关于如何将基数为 10 的数字转换为 IEEE 754 浮点表示的示例

Number: 45.25 (base 10) = 101101.01 (base 2) Sign: 0
Normalized form N = 1.0110101 * 2^5
Exponent esp = 5  E = 5 + 127 = 132 (base 10) = 10000100 (base 2)
IEEE 754: 0 10000100 01101010000000000000000

这对我来说很有意义，除了一段：

45.25 (base 10) = 101101.01 (base 2)

45 在二进制中是 101101，这没关系.. 但是他们是如何获得 0.25 作为 .01 的？

【问题讨论】：

标签： c++ c floating-point ieee-754

【解决方案1】：

简单的位值。在 base 10 中，你有这些地方：

... 10³ 10² 10¹ 10⁰. 10^-1 10^-2 10^-3 ...

... 千、百、十、个。十分之一，百分之一，千分之一......

同样，在二进制（以 2 为基数）中，您有：

... 2³ 2² 2¹ 2⁰. 2^-1 2^-2 2^-3 ...

... 八，四，二，一。一半，四分之一，八分之一......

因此，二进制中. 之后的第二位是 2^-2 的单位，您熟知的单位是 1/4（或 0.25）。

【讨论】：

+1，虽然我发现将二进制位置称为“八、四...”有点幽默，因为每个位置的值永远不会超过一个。
@David，这是一个很好的观点。我一直在纠结该怎么做，但我选择了复数来匹配常见的小数用法，希望能让解释更容易理解。

【解决方案2】：

您可以通过反复乘以新基数（在本例中新基数为 2）将小数点后的部分转换为另一个基数，如下所示：

0.25 * 2 = 0.5

-> 二进制第一位为0（取整数部分，即小数点前的部分）。

继续乘以小数点后的部分：

0.5 * 2 = 1.0

->第二个二进制数字是1（再次取整数部分）。

这也是我们停止的地方，因为小数点后的部分现在为零，所以没有什么可以乘的了。

因此小数部分的最终二进制表示为：0.01₂。

编辑：

可能还值得注意的是，即使从以 10 为底的有限小数部分开始，二进制表示通常也是无限的。示例：将 0.2₁₀ 转换为二进制：

0.2 * 2 = 0.4   ->   0
0.4 * 2 = 0.8   ->   0
0.8 * 2 = 1.6   ->   1
0.6 * 2 = 1.2   ->   1
0.2 * 2 = ...

所以我们最终得到：0.001100110011...₂。

使用这种方法，您很容易看出二进制表示是否最终是无限的。

【讨论】：

【解决方案3】：

考虑到其他基数的“小数”（小数位）与整数的工作方式完全相同。

base 10
scinot 10e2  10e1  10e0 10e-1 10e-2 10e-3
weight 100.0 10.0   1.0  0.1   0.01  0.001
value  0     4      5     .2      5      0

base 2
scinot 2e6 2e5 2e4 2e3 2e2 2e1 2e0 2e-1 2e-2 2e-3
weight 64  32  16   8   4   2   1   .5   .25 .125
value   0   1   0   1   1   0   1   .0    1    0

如果我们从 45.25 开始，它大于/等于 32，所以我们添加一个二进制 1，然后减去 32。
我们剩下 13.25，它小于 16，所以我们添加一个二进制 0。
我们剩下 13.25，它大于/等于 8，所以我们添加一个二进制 1，然后减去 8。
我们剩下 05.25，它大于/等于 4，所以我们添加一个二进制 1，然后减去 4。
我们剩下 01.25，它小于 2，所以我们添加一个二进制 0。
我们剩下 01.25，它大于/等于 1，所以我们添加一个二进制 1，然后减去 1。
对于整数，我们将剩下零，所以我们停止。但是：
我们剩下 00.25，它小于 0.5，所以我们添加一个二进制 0。
我们剩下 00.25，它大于/等于 0.25，所以我们添加一个二进制 1，然后减去 0.25。
现在我们有零，所以我们停止（或者不停止，你可以如果您愿意，请继续并永远计算零）

请注意，并非所有十进制的“简单”数字都始终达到零停止点。 0.1（十进制）转换为基数 2，无限重复：0.0001100110011001100110011...但是，二进制中的所有“简单”数字总是会很好地转换为基数 10。

您也可以对分数 (2.5)、无理数 (pi) 甚至虚数 (2i) 基数执行相同的过程，但基数不能介于 -1 和 1 之间。

【讨论】：

但是我们不能比较虚数，对吗？
@Rotsor：我想我们可以，我只是不知道怎么做。 Knuth 想出了如何处理非理性基础：en.wikipedia.org/wiki/Quater-imaginary_base
@Rotsor & Mooing Duck：Rotsor 是正确的，因为数学不等式（、=）没有为复数定义。解决该问题的一种方法是使用 Knuth 的四虚数基数，因为复数可以用该基数写成单个项（例如 7 + 4i (base 10) = 10323 (base 2i)）。然而，十进制的比较并不总是产生与四虚数相同的结果。例如：0 > -4（以 10 为底），而 0
@nijoakim：很高兴知道数学不等式没有定义，并且“显而易见”的方式与有理数的比较不匹配。但是，我仍然相信可能存在一种有意义的方法。
@MooingDuck：是的，我同意这很有可能。自从您发布此内容后，我实际上一直在尝试解决这个问题，但结果非常困难。

【解决方案4】：

2.000₁₀ = 2⁺¹ = 10.000₂
1.000₁₀ = 2⁺⁰ = 01.000₂
0.500₁₀ = 2^-1 = 00.100₂
0.250₁₀ = 2^-2 = 00.010₂
0.125₁₀ = 2^-3 = 00.001₂

【讨论】：

【解决方案5】：

以 2 为底的分数是 .1 = 1/2, .01 = 1/4。 ...

【讨论】：

【解决方案6】：

这样想

（点）2^-1 2^-2 2^-3 等

所以

。 0/2 + 1/4 + 0/8 + 0/16 等

见http://floating-point-gui.de/formats/binary/

【讨论】：

【解决方案7】：

您可以将 0.25 视为 1/4。

除以 2 in (base 2) 将小数点左移一位，同样的方法除以 10 in (base 10) 将小数点左移一位。一般除以 M in (base M) 小数点左移一位。

所以

base 10                  base 2
--------------------------------------
1                      =>      1
1/2 = 0.5              =>    0.1
0.5/2 = 1/4 = 0.25     =>   0.01 
0.25/2 = 1/8 = 0.125   =>  0.001
.
.
.

等等

【讨论】：