使用 1 的补码生成显示第一个非零位的掩码

Question

我在阅读面试准备书时发现了一个关于 1 的补码的有趣属性。

该属性表示给定一个数字 X，我们可以使用 1 的补码生成一个显示第一个设置位（从右到左）的掩码，如下所示： X & ~(X - 1) 其中~ 代表 1 的补码。

例如，如果X = 0b0011 那么 0b0011 & 0b1101 = 0b0001

我了解到作者正在使用X-1 来翻转右侧的第一个非零位。但我很好奇他是如何想出这样的想法的十。

这是我第一次在 StackOverflow 上发帖，如果这个问题不属于这里，我深表歉意。

Answer 1

首先，请注意对于任何X、X & (~X) = 0 和X & X = X。

Let X = b_n b_(n-1) ... b_k ... b_1, where b_k is the first set bit.
Thus, X is essentially this:
    b_n   b_(n-1) ...  b_(k+1) 1 0 0 ... 0
                               ---- k ----
X-1 is:
    b_n   b_(n-1) ...  b_(k+1) 0 1 1 ... 1
                               ---- k ----
~(X-1) is:
    ~b_n ~b_(n-1) ... ~b_(k+1) 1 0 0 ... 0
                               ---- k ----

X & ~(X-1) is:
    0 0 .................... 0 1 0 0 ... 0
                               ---- k ----

Answer 2

这实际上可以使用一些数学来证明。让x 是一个正整数。对于所有x，存在x 的二进制表示。此外，对于所有x，存在一个数字x - 1，它也具有二进制表示。对于所有x，1s 位置的位将与x - 1 的位不同。让我们将~ 定义为个数的补码运算符。对于任何二进制数b，~b 将b 中的所有0s 转换为1s，并将b 中的所有1s 转换为0s。然后我们可以说~(x - 1) 必须在1s 位置与x 具有相同的位。现在，这对于奇数来说很简单，因为所有奇数o 在1s 位中都有一个1，~(x - 1) 也必须如此，我们可以停在那里。对于偶数，这有点棘手。对于所有偶数e，1 位必须为空。正如我们所说x（以及e）必须大于0，我们也可以说对于所有偶数e，存在一些位使得该位的值是@987654351 @。我们也可以说对于e - 1，1s 位必须是1，因为e - 1 必须是奇数。此外，我们可以说e 中值为1 的第一位将是e - 1 中的0。因此，使用e - 1 的反码，e 中必须是0 的位将根据反码规则变为1。使用& 运算符，这将是e 和~(e - 1) 之间常见的1 位。

Answer 3

这个技巧可能更广为人知的写成

X & -X

根据定义（-）等价，使用-的以下解释变得非常容易理解：

在非零数字的字符串表示法中，-(a10^k) = (~a)10^k

如果您不熟悉该表示法，a10^k 仅表示“一些位字符串 'a' 后跟 1 后跟 k 个零”。

这种解释只是说否定保留所有尾随零和最低 1，但反转所有高位。您可以从否定的定义中看到它也是这样做的，例如，如果您查看~X + 1，您会看到 +1 取消了尾随零的反转（这成为 +1 进行的）和最低设置位（变为 0，然后通过尾随零的进位被它捕获）。

无论如何，使用否定的解释，显然顶部被移除，最低设置位被保留，尾随零将保留。

一般来说，字符串表示法在想出这些技巧时非常有用。例如，如果您知道否定在字符串表示法中看起来像这样，那么这个技巧真的很明显，您还可以找到一些相关的技巧：

• x & x - 1 重置最低设置位
• x | -x 保留尾随零，但设置所有高位
• x ^ -x 保留尾随零，重置最低设置位，但设置所有高位

.. 以及更多变体。