在 Java 中对大数进行更快的 mod 操作答案

【问题标题】：Faster mod operation for large numbers in Java在 Java 中对大数进行更快的 mod 操作
【发布时间】：2019-08-02 19:47:17
【问题描述】：

我需要检查 X 是否可以被 Y 整除。在其他情况下，我不需要实际的余数。

我正在使用“mod”运算符。

if (X.mod(Y).equals(BigInteger.ZERO))
{
     do something
}

现在，我只对 X 可被 Y 整除感兴趣，在其他情况下我不需要实际余数。

当被除数固定时，寻找一种更快的方法来检查整除性。更准确地说，在进行 Lucas-Lehmer 测试之前检查具有许多较小素数的大数（可能是素数）。

我只是想知道，我们是否可以根据 X 和 Y 的最后一位或两位数做出一些假设（前瞻类型），我们可以决定是否选择 mod（当没有机会得到零）。

【问题讨论】：

有什么理由要优化这么多吗？或者这是过早优化的情况？
无论你想出什么，都不太可能比仅仅做模组更快。
有一些选择，但您可能会从更广阔的视野中获得更多。 X 和 Y 是如何计算的？它们有有用的特性吗？ Y 是否“固定”了足够长的时间，以至于为它预先计算某些东西是有意义的？
与您要求的解决方案完全无关，但这种算术运算是记忆的理想选择。当您将函数的输入与输出一起缓存时，记忆是一种技术，因此对该函数的后续调用不会执行它，而是直接从缓存中返回答案。如果使用相同的数字进行调用，可能会比模数更快
你考虑过位移吗？

标签： java biginteger mod

【解决方案1】：

Java BigIntegers（与大约 1980 年以来计算机中的大多数数字一样）是二进制的，因此可以通过查看最后一个“数字”（二进制数字 = 位）来优化的唯一模数是 2 的幂，并且只有 2 的素数幂是 2¹。 BigInteger.testBit(0) 直接测试。然而，大多数生成大应该素数的软件都是用于密码学的（如 RSA、Rabin、DH、DSA），并确保从一开始就不会测试偶数候选；参见例如FIPS186-4 A.1.1.2（或更早版本）。

由于您的实际目标并不如标题中所述，而是为了测试一个（大）整数是否不能被几个小素数的任何整除，因此数学上最快的方法是形成它们的乘积-- 通常是任何公倍数，最好是最小的，但对于不同的素数，乘积是 LCM -- 并使用Euclid's algorithm 与候选计算它的 GCD。如果 GCD 为 1，则乘积中的 no 素因子与候选者是共同的，因此会除以候选者。这需要几个 BigInteger divideAndRemainder 操作，但它会在一个 fwoop 中处理您的所有测试。

一种中间方法是将乘积小于 2³¹ 或 2⁶³ 的几个小素数“捆绑”起来，取BigInteger.mod（或.remainder）产品分别为.intValue() 或.longValue()，并使用int 或long 操作测试每个小素数的可分性（如果非零），这比BigInteger 快得多。如果需要，重复几束。 BigInteger.probablePrime 和相关例程正是这样做的（质数 3..41 与 long）对于高达 95 位的候选者，它认为 Erastosthenes 式筛子更有效。（在这两种情况下，Miller-Rabin 和 Lucas-Lehmer。）

在 Java 中测量这样的事情时，请记住，如果您执行一些“很多”方法，其中“很多”的确切定义可能会有所不同并且难以确定，所有常见的 JVM 都会 JIT 编译代码，从根本上改变性能。如果您正在经常这样做，请务必测量编译后的性能，如果您不经常这样做，那么性能通常无关紧要。关于 Java 的“微基准测试”中的缺陷，这里存在许多问题。

【讨论】：

@user207421：在 1960 年代的大部分时间里，IBM 一直在 1400 系列中构建基于十进制的计算机。但 1980 年听起来确实很晚。
图灵在他 1950 年的猜想论文中提到了二进制，而冯·诺伊曼在他 1945 年的第一稿备忘录中提到了二进制。我在 1971 年自己使用它，并在 1965 年左右被教授。传说俄罗斯人尝试过三元... @HenningMakholm
@HenningMakholm+ S/360-370-390-Z（和竞争对手）在很长一段时间内保持压缩十进制保持强劲，尽管我没有（可能没有人拥有）好的统计数据这就是我说“关于”的原因。也许我们应该说“早在 Java 开始之前”，因为这在这里很重要。欢呼。

【解决方案2】：

有一些算法可以检查可除性，但它是复数形式，每个算法都涵盖一组特定的数字，例如可被 3 整除，可被 4 整除等。可以找到一些算法的列表，例如在Wikipedia。没有通用的、高性能的算法可以用于任何给定的数字，否则发现它的人会很有名，并且那里的每一个可分割的实现都会使用它。

【讨论】：

我看到了那些可分割的规则，对我的情况没有帮助。
@ManojBanik 好吧，实际上你的情况如何？
找到一种更快的方法来检查分红固定时的可分性。更准确地说，在进行 Lucas-Lehmer 测试之前检查具有许多较小素数的大数（可能是素数）。 @Lothar。
@ManojBanik 如果您提前知道素数列表，那么有技巧
@ManojBanik 与常规除数测试相同的技巧与常数除数（不是除数规则，而是乘以除数模乘以二的幂）。但是如果除数很小，它们就不适用于 BigInteger，因为“big%small”的计算速度比“big*big”快。它适用于大的已知除数，或 long.. 的算术运算。所以我想这会让我们回到没有有用的技巧（E：here 就是一个例子）