MatLab：寻找根的迭代方法

Question

我正在尝试实现一种迭代方法，以便在 matlab 中找到一个根。这是我的代码，非常简单

function [ res ] = iterative_method(f, a, b, x0, atol)

    prev = f(x0);
    xn = f(prev)
    while (abs(xn - prev) < atol)
       prev = xn
       xn = f(prev)

    end
    res = xn
end

然后，我想在函数中找到一个根

f(x) = x^3 - 30*x^2 + 2552

所以我调用我的函数

iterative_method(@(x) x^3 -30*x^2 + 2552,0,10,1,10^-4);

但是输出没有意义：

res =

   1.5869e+10

Answer 1

由于您使用的算法，它不起作用，您正在编写： x_{n+1} = f(x_n)

这不是找到函数根的算法。

编辑： 如其所写，您的函数 iterative_method 查找函数 f 的不动点，而不是其根（即，它查找 x=f(x) 而不是 f(x)=0 的点 x）。所以如果你想要 x 使得 f(x)=0，那么你需要找到一个函数 g 使得 f(x)=0 写成 g(x)=x，并将你的不动点研究应用于这个函数 g 而不是F。例如，在您的特定情况下，

x^3-30x^2+2552 = 0

可以写

x = sqrt((x^3+2552)/30) 如果您寻找函数 f 的正根，或者 x = -sqrt((x^3+2552)/30) 寻找负根。

因此，您可以将您的算法应用于函数 g：@(x) sqrt((x^3+2552)/30)（按照@Sardar_Usama 的建议修改停止标准），您将捕获F。但是请注意，固定点方法通常效率不高，因为它需要所选函数 g 的条件以确保收敛。你会在互联网上找到关于这个主题的文献。

文献中有很多不同的算法可用（最简单的链接：wiki https://en.wikipedia.org/wiki/Root-finding_algorithm）

对于您的函数，如果您从现有根附近开始，我建议使用牛顿法，该方法非常有效（二次收敛）。为此，您将需要该函数的导数并稍微修改您的 iterative_method 函数（同时考虑@Sardar_Usama 注释，并去掉在您的函数中无用的 a 和 b）：

function [ res ] = iterative_method(f,df, x0, atol)

prev = f(x0);
xn = f(prev)
while (abs(xn - prev) > atol)
   prev = xn
   xn = prev-f(prev)/df(prev)

end
res = xn
end

然后调用

iterative_method(@(x) x^3 -30*x^2 + 2552,@(x) 3*x^2-60*x,-10,10^-4);

这将找到最接近 -10 的根，即 -8.1761...