求解线性方程组

Question

我正在使用有限元方法来计算通过元素的热流。 我目前正忙于求解方程组，其中等式两边都有变量。一个简单的例子可能是这样的

| 1  -1   0|   |100 |   |q1|   
|-1   2  -1| . | T2 | = |0 |   
| 0  -1   1|   | 0  |   |q3|

我正在考虑使用的方法会将矩阵减小到 2x2，因为温度“T1”是已知的，并相应地更改右侧。并继续在“T3”行中执行相同操作。 然而，我的顾问一直在建议我反对这一点。

你会如何解决这样的系统？

Answer 1

另一种方法是创建一个置换矩阵以从向量中提取已知和未知的行。 这种方法稍微复杂一些，但对程序员更友好：

说出你的情商。系统是：

K . T = Q

其中K 是3x3，T 和Q 是3x1 向量。您可以创建一个排列 Pf 矩阵，当它乘以 T 时，结果是 T 矩阵（仅 T2）的未知部分，在您的情况下排列矩阵将是一个 1x3 矩阵：

Pf = [0 1 0]

                       |100|
Tf = Pf * T = [0 1 0]* |T2 | = [T2]
                       |0  |

另一个排列矩阵将从T 矩阵中获取已知部分，在您的情况下，它将是2x3 矩阵：

     | 1 0 0|
Ps = | 0 0 1| 

Ts =  Ps * T = | 1 0 0|  |100|   |100|
               | 0 0 1| *| T2| = |0  |
                         |0  |   

现在一切准备就绪，你可以假设系统是这样的：

K . T = Q

K = |Kff Kfs|
    |Kfs Kss|

Q = |Qf|
    |Qs|

T = |Tf|
    |Ts|

其中f 是未知右侧的前缀，s 前缀是已知右侧的前缀。你可以像这样找到Pf、Ps、Qf、Qs、Kff、Kfs、Ksf和Kss：

Tf = Pf * T
Tq = Ps * T

Qf = Pf * Q
Qq = Ps * Q

Kff = pf * K * pf` (note: ` denotes the transpose)
Kfs = pf * K * ps` (note: ` denotes the transpose)
Ksf = ps * K * pf` (note: ` denotes the transpose)
Kss = ps * K * ps` (note: ` denotes the transpose)

现在需要找到未知向量Tf 和Qs：

K . T = Q

|Kff Kfs| |Tf| = |Qf|
|Kfs Kss| |Ts|   |Qs|

表示：

Kff * Tf + Kfs * Ts = Qf
Kfs * Tf + Kss * Ts = Qs

从第一个开始：

Tf = Kff^-1 * (Qf - Kfs * Ts)

通过上面的等式你可以找到Tf（注意所有右边都是已知的矩阵和向量，所以需要进行数值运算）

从第二个开始：

Qs = Kfs * Tf + Kss * Ts 

这样Qs 和Tf 都可以找到。找到Tf 和Qs 后，您可以这样做以形成原始的T 和Q 矩阵：

Q = Ps` * Qs + Pf` * Qf
T = Ps` * Ts + Pf` * Tf

Answer 2

我会写下你的线性方程并重新调整它，这样你就只有一个带有未知变量的向量。例如，您上面的方程组等于：

可以改写：

产生于：

| -1  -1   0|   | T2 |   | 100 |   
|  2   0   0| . | q1 | = | 100 |   
| -1   0  -1|   | q3 |   |  0  |