BFS 糟糕的复杂性

Question

我正在使用邻接表来表示 OCaml 中的图形。然后我从节点s开始在OCaml中实现了以下BFS。

let bfs graph s=
    let size = Array.length graph in
    let seen = Array.make size false and next = [s] in 
    let rec aux  = function 
    |[] -> ()
    |t::q -> if not seen.(t) then  begin seen.(t) <- true;  aux (q@graph.(t)) end  else aux q 
    in aux next

size表示图的节点数。 seen 是一个数组，其中seen.(t) = true 如果我们看到了节点t，next 是我们需要看到的节点的列表。

问题是 BFS 的时间复杂度通常是线性的 (O(V +E)) 但我觉得我的实现没有这种复杂度。如果我没记错的话，q@graph.(t) 的复杂性相当大，因为它是 O(| q |)。所以我的复杂性非常糟糕，因为在每一步我都在连接两个列表，而且时间很长。

因此，我想知道如何调整此代码以制作高效的 BFS？问题（我认为）来自使用列表的队列实现。 OCaml 中 Queue 模块的复杂性是否需要 O(1) 才能添加元素？在这种情况下，我如何使用这个模块来使我的 bfs 工作，因为我不能像列表一样轻松地使用 Queue 进行模式匹配？

Answer 1

q@graph.(t) 的复杂度相当大，因为它是 O(| q |)。所以我的复杂性非常糟糕，因为在每一步我都在连接两个列表，而且时间很长。

你说得对——这是你的 BFS 的瓶颈。您应该可以愉快地使用Queue 模块，因为根据https://ocaml.org/learn/tutorials/comparison_of_standard_containers.html 插入和获取元素的操作是O(1)。

OCaml 中队列和列表之间的区别之一是队列是可变结构，因此您需要使用非纯函数，例如 add、take 和 top，它们分别就地插入元素、弹出从前面的元素并返回第一个元素。

Answer 2

如果我没记错的话，q@graph.(t) 的复杂度相当大，因为它是 O(| q |)。

这确实是问题所在。你应该使用的是graph.(t) @ q。其复杂度为 O(| graph.(t) |)。

你可能会问：这有什么不同？

区别在于|q|可以是从 0 到 V * E. graph.(t) 的任何东西，另一方面，您可以使用。您最多访问图中的每个顶点一次，因此总体复杂度将是

  O(\Sum_V |grahp.(v))

图中每个顶点的所有边的总和。或者换句话说：E.

这让您了解 O(V + E) 的整体复杂性。