haskell - 超操作（ackermann）函数，四分法

Question

我正在尝试在haskell中编写一个超操作函数。

通常写为ackermann(a,b,n)，但出于部分应用目的，我认为将n 放在首位更有意义。因此我称之为hypOp n a b

我发现最自然的形式使用折叠 ao replicate 列表，如下所示：

Prelude> replicate 3 5
[5,5,5]
Prelude> foldr1 (*) $ replicate 3 5
125

根据折叠的函数参数，可以是加法、乘法、求幂、四乘等。

非正式概述：

hypOp 0 a _ = succ a
hypOp 1 a b = a + b = foldr1 (succ a) (replicate b a) --OFF BY ONE ISSUES, TYPE ISSUES
hypOp 2 a b = a * b = foldr1 (+) $ replicate b a
hypOp 3 a b = a ^ b = foldr1 (*) $ replicate b a
hypOp 4 a b = = foldr1 (^)

出于关联的原因，我的印象是我必须使用右折叠，这很不幸，因为左折叠 (foldl') 提供的严格性会很有用。

左右折叠问题

Prelude> foldl1 (^) $ replicate 4 2 --((2^2)^2)^2 = (4^2)^2 = 16^2 = 256 != 2 tetra 4
256
Prelude> foldr1 (^) $ replicate 4 2 --(2^(2^(2^2))) = 2^16 = 65536 == 2 tetra 4
65536

当我开始使用后继功能时，我遇到了一个问题。所以我使用 (+) 作为我的基本折叠的函数

Prelude> let add a b = foldr1 (\a b -> succ b) $ replicate b a
Prelude> add 5 4
8
Prelude> add 10 5  --always comes out short by one, so i cant build off this
14

前几个 n 值，“手动”完成：

Prelude> let mul a b = foldr1 (+) $ replicate b a
Prelude> let exp a b = foldr1 mul $ replicate b a
Prelude> let tetra a b = foldr1 exp $ replicate b a
Prelude> let pent a b = foldr1 tetra $ replicate b a
Prelude> let sixate a b = foldr1 pent $ replicate b a
Prelude> mul 2 3 --2+2+2
6
Prelude> exp 2 3 --2*2*2
8
Prelude> tetra 2 3 --2^(2^2)
16
Prelude> pent 2 3 --2 tetra (2 tetra 2) 
65536
Prelude> sixate 2 3
*** Exception: stack overflow

我尝试通过上述方法进行正式定义：

hypOp :: Int -> Int -> Int -> Int
hypOp 0 a b = succ a
hypOp 1 a b  =  (+) a b  --necessary only bc off-by-one error described above
hypOp n a b = foldr1 (hypOp $ n-1) (replicate b a)

递归数组的其他尝试（没有任何显着差异）：

let arr = array (0,5) ( (0, (+)) : [(i, (\a b -> foldr1 (arr!(i-1)) (replicate b a)) ) | i <- [1..5]])
-- (arr!0) a b makes a + b
-- (arr!1) a b makes a * b, etc.

所以我的问题是......

1. 任何一般性建议，不同的功能方法？我似乎找不到避免溢出的方法，除了使用非常“命令式”的风格，这不是我在使用 haskell 并尝试以惯用风格​​编码时的意图
2. 如何处理我的一对一问题，以便我可以使用succ 从最底部“正确”开始
3. 严格性和左右折叠。有没有办法在seq 工作？我可以使用foldl1' 而不是foldr1 并避免上述问题的某种方式？

Answer 1

1. 请参见第 3 点。尽管以这种方式定义这些操作是可行的，并且您可以在没有溢出的情况下进行，但这是一种效率极低的方法。你的运行时间在答案中是线性的，因为你最终会重复加法。

2. 您之所以选择一个，主要是因为您使用foldr1 f 而不是foldr f 的身份。

   foldr (+) 0 [a, a, a] = a + (a + (a + 0)))
   foldr1 (+) [a, a, a]  = a + (a + a)
   

   注意在foldr1 的情况下，+ 的应用少了一个。

3. 简单地将参数的顺序更改为(^) 怎么样？这样，您可以使用左折叠：

   Prelude Data.List> foldl1 (flip (^)) $ replicate 4 2
   65536
   

   现在您可以使用严格版本foldl1'。它不再溢出，但它当然是极其低效的。