使循环和代码更有效地处理带有循环的大量数字

Question

这是一个关于 Codewars 的作业，换句话说，就像一个家庭作业。 :) 我必须编写一个函数来返回 1 和 n（含）之间的数字数量，可以表示为两个完美正方形的差。例如，20 = 6² - 4² 和 21 = 5² - 2²。许多数字都可以这样写，但不是全部。

我写了一个函数，它运行良好，但它需要能够处理n 的值，最高可达45000。基本上，我的代码在分析数千个数字时会崩溃。为了使代码更高效，我尝试反转初始循环，从n 到0，而不是从0 到n。我试图将n 除以二，直到它变得足够小，然后再次将最终结果乘以 2，但没有奏效。我也使用了while 循环，但后来我意识到我根本不知道如何解决这个问题，经过 3 天毫无意义的暴力尝试解决它后，我正在寻求帮助，因为我没有想干脆放弃吧。这是我的代码

function countSquareable(n){
  var y = []
  var c = []

  for (var i = 0; i <= n; i++) { // all numbers powered in range
  y.push(Math.pow(i,2))
  }

for(i = 0; i < y.length; i++) {
    c.push(y.map(a => y[i]-a)) //  all subtractions' combos

}

var d = c.toString().split(",").sort(function(a, b){return a-b}).filter(function(a) {return a>0 && a<=n}) // only the combos I need in the range

var a = [], b = [], prev; // remove duplicates
d.sort();
    for ( var i = 0; i < d.length; i++ ) {
        if ( d[i] !== prev ) {
            a.push(d[i]);
            b.push(1);
        } else {
            b[b.length-1]++;
        }
        prev = d[i];
    }

return console.log(a.length) // end result



};
countSquareable(500)

countSquareable(4) // should return 3 and it works
countSquareable(5) // should return 4 and it works
countSquareable(40) // should return 30 and it works
countSquareable(45000) // should return 33750 but crashes
countSquareable(6427), // should return 4820 but crashes

如何让代码更有效地解决问题？ 卡塔是here。 谢谢！！

Answer 1

这可以用少量的数学来完成。

如果你可以列出它们而不是计算值，比如 30 个 40，你会得到

[1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21,
 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40]

如果难以看到那里的模式，请尝试大声朗读。关键是这些群体很容易成为

[        1,
 3,  4,  5,
 7,  8,  9,
 11, 12, 13,
 15, 16, 17,
 19, 20, 21,
 23, 24, 25,
 27, 28, 29,
 31, 32, 33,
 35, 36, 37,
 39, 40, (41)]

换句话说，从 2 开始，每四个数字都丢失了。下面是遵循该模式的代码：

const range = (lo, hi) => Array(...Array(hi - lo + 1)).map((_, n) => lo + n)

const countSquareable = (n) => range(1, n).filter(n => n % 4 !== 2).length

console.log(countSquareable(4))
console.log(countSquareable(5))
console.log(countSquareable(40))
console.log(countSquareable(45000))

所以它符合预期。但是我们现在处于数学领域，所以我们需要证明一些事情。我们可以在三种情况下做到这一点：

n可以表示为平方差吗？

案例一：n 是奇数

让a = (n + 1) / 2，让b = (n - 1) / 2。

由于n 是奇数，n - 1 和n + 1 是偶数，所以a 和b 都是整数。

a^2 = (n^2 + 2n + 1) / 4
b^2 = (n^2 - 2n + 1) / 4

所以

a^2 - b^2 = 4n / 4 = n

因此，奇数可以表示为平方差。

案例 2：n 可以被 4 整除

让a = (n / 4 + 1)，让b = (n / 4 - 1)

由于n 可以被4 整除，所以(n / 4) is an integer and thusaandb` 是整数。

现在

a^2 = (n^2/16 + 2n/4 + 1)
b^2 = (n^2/16 - 2n/4 + 1)

和

a^2 - b^2 = 4n/4 = n

因此，4的倍数可以表示为平方差。

案例 3：2 的倍数不是 4 的倍数

我们可以这样除整数：(4n), (4n + 1), (4n + 2), (4n + 3)。

对每一个进行平方，然后选择合适的k，我们得到：

(4n)^2 = 16n^2 = 4 * 4n^2                             = (4k)
(4n + 1)^2 = (16n^2 + 8n + 1) = 4(4n^2 + 2n) + 1,     = (4k + 1)
(4n + 2)^2 = (16n^2 + 16n + 4) = 4(4n^2 + 4n + 1)     = (4k)
(4n + 3)^2 = (16n^2 + 24n + 9) = 4(4n^2 + 6n + 2) + 1 = (4k + 1)

因此，将一个正方形除以 4 时唯一可能的余数是 0 和 1。

减去这些，我们得到(1 - 0) = 1、(1 - 1) = 0、(0 - 0) = 0、(0 - 1) = -1（最后一个与 3 的余数相同：4k - 1 = 4(k -1) + 3。）

所以我们可以得到0、1 或3 的余数。但我们无法获得2。

因此，不是 4 的倍数的 2 的倍数不能表示为平方差。

Q.E.D.我们已经证明我们的直觉是正确的：任何整数都可以写成平方的差，除了那些是 2 的倍数但不是 4 的整数。

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更新

我的原始代码是一种蛮力方法，注意到 a^2 - b^2 = (a - b) * (a + b) 以及因此较小的因子 ((a - b)) 必须小于我们最大数字的平方根，如果产品小于 @987654355 @。然后我尝试了b 的所有可能值，如果小于n，则保存(a^2 - b^2)。这很有效，并且对于45000 的情况似乎足够有效。但它错过了上面的分析。

无论如何，这是那个版本：

const countSquareable = (n) => {
  const found = new Set()
   // a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), so (a - b) can be no larger than sqrt(n)
  const topDiff = Math.sqrt(n)
  for (let diff = 1; diff <= topDiff; diff++) {
    const topB = n / 2 // can we get a tighter bound here?
    for (let b = 0; b < topB; b++) {
      let a = b +  diff
      const val = (a * a) - (b * b)
      if (val <= n) {
        found.add(val)
      }
    }
  }
  //console.log([...found].sort((a, b) => a - b))
  return found.size
}

console.log(countSquareable(45000))