Lambda：Eta 转换、扩展、缩减说明

Question

我的理解Eta-conversion如下：

作为eta-reduction

(lambda (x) (M x)) -> M

• 当 M 不包含 x 时；

所以，

(lambda (x) ((lambda (y) (y y)) x)) -> 
                       (lambda (y) (y y))

问题解答：

作为 eta 扩展

M -> (lambda (x) (M x))

(lambda (y) (y y)) -> 
         (lambda (x) ((lambda (y) (y y)) x))

Answer 1

具有 1 个参数的函数的 Eta 扩展转换任何生成此类函数的表达式，并生成一个将其包装在 lambda 中的表达式，该表达式仅在调用该函数时才评估该表达式。

假设表达式 E 产生一个 1-argument 函数：

E

它的 eta 扩展是一个 lambda，它接受一个参数并委托给 E

(lambda (x) (E x))

您使用了一个新变量x，它在E 中不是免费的。这就像将(f x) 定义为(g x)，所以这个新函数的行为应该等同于E。

例如，如果E 是一个变量，例如y，那么 eta 扩展可以将y 变成(lambda (x) (y x))。但是，如果 E 包含变量 x，那么您将不得不生成另一个变量而不是 x，因此 eta 扩展 x 可能会生成 (lambda (x2) (x x2))。

E 和 eta 扩展版本 (lambda (x) (E x)) 之间的主要区别在于评估 E 的时间。仅使用E，表达式E 就被评估一次。但是，使用 eta-expansion (lambda (x) (E x))，E 的评估会延迟到函数第一次调用的时间，并且每次调用函数时都会重新评估 E。在具有副作用的语言中，您可以使用作为E 一部分的打印语句来证明这一点。

设E 为：

(begin (displayln "E") f)

那么E的eta-expansion是：

(lambda (x) ((begin (displayln "E") f) x))

如果您将g 定义为E，则在评估该定义时会得到显示。

> (define g (begin (displayln "E") f))
E

并且当你调用g时，它不必再次评估它，所以它不会打印更多Es

> (g 1)
> (g 2)

但是，如果您将 g 定义为 eta 扩展，那么您将无法获得该显示。

> (define g (lambda (x) ((begin (displayln "E") f) x)))

相反，当您使用参数(g 1) (g 2) (g 3) 调用g 时，它会为每个参数打印一个E

> (g 1)
E
> (g 2)
E
> (g 3)
E

这如何适用于您的示例：

您的第一个 eta-reduction 示例将(lambda (x) (M x)) 转换为M，其中x 在M 中不是免费的。 Eta-expansion 是相反的，所以它将M 转换为(lambda (x) (M x))，你必须选择一个x 在M 中不是免费的。

您的第二个 eta-reduction 示例将 (lambda (x) ((lambda (y) (y y)) x)) 转换为 (lambda (y) (y y))。同样 eta-expansion 是相反的，所以如果给定 (lambda (y) (y y))，它将产生 (lambda (x) ((lambda (y) (y y)) x))。

你的第三个例子是不同的。您正在尝试对 (lambda (y) (y y)) 进行 eta-expand，根据第二个示例应该生成 (lambda (x) ((lambda (y) (y y)) x))。但是您的示例说明了一些不同的内容：

(lambda (y) (y y))
-> (lambda (x y) (y y x))

应该在哪里

(lambda (y) (y y))
-> (lambda (x) ((lambda (y) (y y)) x))