Unity C# 向围绕移动轴旋转的目标发射弹丸

Question

我正在开发一个 3D 太空游戏，其中相机处于恒定的 2D（自上而下）状态。我能够向以给定速度移动的目标发射速度（s）的射弹，并且每次都击中它。伟大的！好吧，如果那个目标在父母周围有一个角速度呢？我注意到如果目标有一个正在旋转的父对象，我的投影不正确，因为它没有考虑角速度。

我的初始代码是围绕以下假设构建的：

Position_target + Velocity_target * t = Position_shooter + Velocity_shooter * t + Bulletspeed * t

我假设射手是静止的（或可能在移动）并且需要发射一个恒定大小的子弹。

我把上面的简化成这个

Delta_Position = Position_target - Position_shooter
Delta_Velocity = Velocity_target - Velocity_shooter

Delta_Position + Delta_Velocity * t = BulletSpeed * t

对两边求平方，我得到一个二次方程，我可以在给定行列式结果或零的情况下求解 t。这很完美。我返回一个 t 值，然后将目标的位置和当前速度投影到该 t，然后我有炮塔脚本以给定的角速度向该点旋转。如果炮塔说它在所有轴上的 1% 范围内看那个点，它会以速度发射子弹，如果目标不改变其航向或速度，它会 100% 命中。

我开始在我的飞船/小行星上添加组件，这些组件是父对象的子对象，例如连接到飞船的炮塔，炮塔本身就是目标。如果船围绕一个轴（例如 Y 轴）旋转并且炮塔不在 x=0 和 z=0 处，我的投影不再起作用。我认为使用 r * sin ( theta + omega * t) 作为 X 位置的角速度分量和 r * cos ( theta + omega * t) 作为 Z 位置的角速度分量可以工作。 Theta 是当前旋转（相对于世界坐标），而 omega 是围绕 y 轴的 eulerAngle 旋转。

我很快意识到这只适用于绕 y 轴旋转，我不能将 sin 放入二次方程，因为我不能从中提取 t，所以我不能真正正确地投影这个。我尝试使用双曲线，但情况相同。我可以创建一个任意的 t，假设 t=2，然后计算对象在 2 秒内的位置。但我正在努力寻找一种方法来实现子弹速度投影。

Position_targetparent + Velocity_targetparent * t + [ANGULAR VELOCITY COMPONENT] = Position_shooter + Velocity_shooter * t + Bulletspeed * t

Delta_Position_X + Delta_Velocity_X * t + S * t = r * sin (theta + Omegay * t)
Delta_Position_Z + Delta_Velocity_Z * t + S * t = r * cos (theta + Omegay * t)

从这里开始，我一直在不停地转动我的轮子，试图找出一个可行的解决方案。我将 eulerAngle.y 用于运行良好的欧米茄。最终，我只需要我应该射击的空间中的瞬时点，它是子弹速度和投影距离的乘积，然后我的炮塔瞄准脚本会处理剩下的事情。

我一直在研究基于父母位置（旋转中心）的球坐标系

Vector3 deltaPosition = target.transform.position - target.transform.root.position;
r = deltaPosition .magnitude;
float theta = Mathf.Acos(deltaPosition.z / r);
float phi = Mathf.Atan2(deltaPosition.y,deltaPosition.x);

float xPos = r * Mathf.Sin(theta) * Mathf.Cos(phi)
float yPos = r * Mathf.Sin(theta) * Mathf.Sin(phi)
float zPos = r * Mathf.Cos(theta)

Vector3 currentRotation = transform.root.gameObject.transform.rotation.eulerAngles * Mathf.Deg2Rad;
Vector3 angularVelocity = transform.root.gameObject.GetComponent<Rigidbody>().angularVelocity;

在给定这些角度的情况下，我可以计算出物体的位置……但我正在努力将其转化为可以与 omega * t（角速度）方法一起使用的东西。

我想知道是否有更优雅的方法来解决这个问题，或者是否有人可以指出正确的公式方向来帮助我思考这个问题？我在四元数和 EulerAngles 方面不是最好的，但我正在慢慢学习它们。也许我可以用这些做一些聪明的事情？

Answer 1

虽然数学可能仍然很困难，但我怀疑您可以通过让“目标”计算其在本地空间中的未来位置来大大简化数学。然后让它将该位置调用给它的父级，让它在本地空间中计算它，依此类推，直到你到达世界空间。一旦你确定了它在世界空间中的未来位置，你就可以将你的炮塔瞄准那个目标。

例如，轨道飞船应该能够轻松计算其未来的轨道。这是一个椭圆的方程。然后它可以将该本地位置发送到它的父（行星），它可能也在绕轨道运行并计算相对于自身的位置。然后行星会将这个本地位置发送给它自己的父（星）等等。直到你到达世界空间。

您可以通过使子弹的行进时间恒定（灵活的速度）来进一步简化此数学运算，这样您就可以简化计算特定时间未来位置的过程。根据您的游戏规模，实际的速度差异可能不会那么不同。

另一个想法：您可以及时“模拟”目标对象，而不是通过蛮力进行所有计算。确保所有影响位置的代码都可以与您的实际更新循环分开运行。只需将时钟向前推进，无需实际移动即可查看其未来位置。然后回到现在，在未来的位置开枪。

Answer 2

我建议大致解决这个问题。
如果您可以通过函数 f(t) 随时间推移来描述目标的位置，那么您可以使用 divide and conquer strategy 来近似它，如下所示：

算法（伪代码）：
令 f(t:float):Vector3 为计算目标在时间 t 的位置的函数
让 g(p:Vector3):float 成为计算子弹需要多长时间才能到达 p

的函数

float begin = 0    // Lower bound of bullet travel time to hit the target
float end = g(target.position)    // Upper bound

// Find an upper bound so that the bullet can hit the target between begin and end time
while g(f(end)) > end:
    begin = end
    end = end * 2    // Exponential growth for fast convergence
    // Add break condition in case the target can't be hit (faster than bullet)
end    

// Narrow down the possible aim target, doubling the precision in every step
for i = 1...[precision]:
    float center = begin + (end - begin) / 2
    float travelTime = g(f(center))

    if travelTime > center:    // Bullet can't reach target
        begin = center
    else    // Bullet overtook target
        end = center
    end
end

float finalTravelTime = begin + (end - begin) / 2
Vector3 aimPosition = f(finalTravelTime)    // You should aim here...

您需要试验 [precision] 的值。它应该尽可能小，但要大到足以让子弹始终击中目标。
您还可以使用其他中断条件，例如限制绝对误差（在 finalTravelTime 时子弹到目标的距离）。
万一目标可以跑得比子弹快，就需要在上界循环上加一个break条件，否则会变成死循环。

为什么有用：
不用计算复杂的等式函数来确定撞击时间，您可以用一个相当简单的位置函数和这种方法来近似它。
该算法独立于实际位置函数，因此适用于各种敌人的运动，只要可以计算出未来的位置即可。

缺点：
此函数多次计算 f(t)，对于复杂的 f(t)，这可能会占用大量 CPU。
而且它只是一个近似值，结果的精度越差，行程时间越长。

注意：
我从头顶写了这个算法。
我不保证伪代码的正确性，但算法应该可以工作。