如何有效地生成组合而不重复，它们之间有特定的数字

Question

如何有效地生成无重复的数字组合的集合，其中所有集合之间都有一定的独特数字。
*注意 : 范围编号总是从 0 开始。

---

示例：

范围编号(numbers[ ]) = 0,1,2,3,4,5,6,7 ==> 共 8 个数字 (n)。
组合 (k) = 5 个数字。
独特的数字 (nD) = 2 个数字。

结果：
0 1 2 3 4
0 1 2 5 6
0 1 3 5 7
0 1 4 6 7
0 2 3 6 7
0 2 4 5 7
0 3 4 5 6
有 7 种有效组合

---

如何组装：

由于我不擅长文字，所以让我将它们想象成这样：

解释它们的独特编号：

我们可以将它们汇总到这张表中：

---

到目前为止我取得了什么成就

我目前的解决方案效率很低（或者你可以称之为蛮力）。
* 首先 i 循环每个组合。 ==> k C n
* 然后我为有效组合创建一个临时文件。
* 然后，对于每个组合，我都会验证我的 temp，如果它有效，则将其存储在 temp 中，否则忽略它。
就是这样。

这是我在控制台应用程序中的代码：

class Program
{
    static List<int[]> ValidCombinations;

    static void Main()
    {
        ValidCombinations = new List<int[]>();

        int[] numbers = Enumerable.Range(0, 8).ToArray();
        int n = numbers.Length;
        const int k = 5;
        const int nD = 2;

        int maxIntersect = k - nD;

        int iCombination = 0;
        int iValidCombination = 0;
        int[] _temp = new int[k];
        foreach (int[] c in FindCombinations(k, n))
        {
            // #Print out
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                if (c.Contains(i))
                    Console.Write(c[Array.IndexOf(c, i)] + " ");
                else
                    Console.Write("_ ");
            }

            // Save to List
            if (IsValidSet(c, maxIntersect))
            {
                _temp = new int[k];
                for (int i = 0; i < c.Length; i++)
                {
                    _temp[i] = c[i];
                }
                ValidCombinations.Add(_temp);
                iValidCombination++;
                Console.Write(" ### --> {0}", string.Join(" ", c));
            }
            Console.WriteLine();

            iCombination++;
        }
        Console.WriteLine("\nTotal Combination = {0}", iCombination);
        Console.WriteLine("Valid Combination Found = {0}", iValidCombination);
    }

    public static IEnumerable<int[]> FindCombosRec(int[] buffer, int done, int begin, int end)
    {
        for (int i = begin; i < end; i++)
        {
            buffer[done] = i;

            if (done == buffer.Length - 1)
                yield return buffer;
            else
                foreach (int[] child in FindCombosRec(buffer, done + 1, i + 1, end))
                    yield return child;
        }
    }

    public static IEnumerable<int[]> FindCombinations(int m, int n)
    {
        return FindCombosRec(new int[m], 0, 0, n);
    }

    private static bool IsValidSet(int[] set, int maxIntersect)
    {
        foreach (var item in ValidCombinations)
        {
            if (set.Intersect(item).Count() > maxIntersect)
                return false;
        }

        return true;
    }
}

我得到了从here 生成组合的基本代码。

---

问题

这是可行的，但对于更大范围的数字，此解决方案将需要很长时间才能完成。我知道，因为涉及到组合算法，但必须有某种捷径或模式来简化它（我的小脑袋无法弄清楚）。

非常感谢。

Answer 1

您的矩阵表示表明这个问题是同源的，或者至少非常类似于找到一组不同的固定大小的二进制字，常数Hamming weight，并且在它们之间的任何一对之间都有一个常数Hamming distance。

图形化：

正如this question 中所述，这个问题不一定是微不足道的。特别是，建议的解决方案解释了如何构造Hadamard matrix，哪些行是您要查找的二进制字。

这看起来与您的矩阵非常相似。无论如何，你需要的是更通用一点。与这种情况不同，您不希望每对行的距离正好为 n/2，而是恒定距离为 d < n/2。

底线

轻松生成具有恒定大小（由您的numbers 数组的长度确定）、恒定权重（由您的k 确定）和恒定距离（由您的nD 确定）的二进制字集的可能性在很大程度上取决于这些参数。鉴于some techniques for generating those sets 依赖于对这些参数的一些假设，我的猜测是对于一般情况没有有效的算法。

无论如何，如果您改写您的问题并在MathOverflow 上提问，可能会很有用，可能会同时链接这个问题和我链接的问题。

算法建议

至于算法（就像您的算法一样，不适用于大数字），您可以尝试以下方法：

1. 生成一个由k 后跟(numbers.Length - nD) 零组成的二进制字并将其存储在一个列表中
2. 迭代生成与原始单词完全不同的2*nD 位的每个单词。
3. 对于每个生成的单词，只有当它与列表中的其他单词有2*nD 距离时，才尝试将其存储在列表中。

与您的方法没有太大不同，但我认为这可能会更好一些。

Answer 2

#include<iostream>
#include<vector>
#define N 8
#define K 5
#define D 2
using namespace std;

vector<vector<int>> vv;
vector<int> v;
int intersection(const vector<int>& a, const vector<int>& b) 
{//count elements of intersection of two sorted vectors
    int count = 0;
    auto a_it = a.begin();
    auto b_it = b.begin();
    while(a_it != a.end() && b_it != b.end()) {
        if(*a_it == *b_it) count++, a_it++, b_it++; 
        else if(*a_it < *b_it) a_it++;
        else b_it++;
    }
    return count;
}

void select_num(int n)
{//might reduce some unnecessary iteration of nCk combination 
    for(auto& a : vv) if(intersection(a, v) > K - D) return;
    //above line will cut off the chain when the intersection is already over 
    //limit. You can add some more conditions to cut off unnecessary calculation.
    if(v.size() == K) {
        bool ok = true;
        for(auto& a : vv) {
            if(intersection(a, v) != K - D) {
                ok = false;
                break;
            }
        }
        if(ok) vv.push_back(v);
        return;
    }
    if(n == N) return;

    //case : select n
    v.push_back(n);
    select_num(n+1);
    v.pop_back();

    //case : do not select n
    select_num(n+1);
}

int main()
{
    select_num(0);
    for(auto& a : vv) {
        for(auto& b : a) cout << b << ' ';
        cout << endl;
    }
    cout << endl << vv.size() << endl;
}