生成一个矩阵，其中包含取自 n 个向量的元素的所有组合

Question

这个问题经常以一种或另一种形式出现（例如参见here 或here）。所以我想我会以一般形式呈现它，并提供一个答案，以供将来参考。

给定任意数量的n 可能不同大小的向量，生成一个n-列矩阵，其行描述取自这些向量的所有元素组合（笛卡尔积）。

例如，

vectors = { [1 2], [3 6 9], [10 20] }

应该给

combs = [ 1     3    10
          1     3    20
          1     6    10
          1     6    20
          1     9    10
          1     9    20
          2     3    10
          2     3    20
          2     6    10
          2     6    20
          2     9    10
          2     9    20 ]

Answer 1

ndgrid 函数几乎给出了答案，但有一个警告：n 输出变量必须显式定义才能调用它。由于n 是任意的，因此最好的方法是使用comma-separated list（从带有ncells 的单元阵列生成）作为输出。然后将生成的n 矩阵连接到所需的n-column 矩阵中：

vectors = { [1 2], [3 6 9], [10 20] }; %// input data: cell array of vectors

n = numel(vectors); %// number of vectors
combs = cell(1,n); %// pre-define to generate comma-separated list
[combs{end:-1:1}] = ndgrid(vectors{end:-1:1}); %// the reverse order in these two
%// comma-separated lists is needed to produce the rows of the result matrix in
%// lexicographical order 
combs = cat(n+1, combs{:}); %// concat the n n-dim arrays along dimension n+1
combs = reshape(combs,[],n); %// reshape to obtain desired matrix

Answer 2

简单一点……如果你有神经网络工具箱，你可以简单地使用combvec：

vectors = {[1 2], [3 6 9], [10 20]};
combs = combvec(vectors{:}).' % Use cells as arguments

以稍微不同的顺序返回一个矩阵：

combs =

     1     3    10
     2     3    10
     1     6    10
     2     6    10
     1     9    10
     2     9    10
     1     3    20
     2     3    20
     1     6    20
     2     6    20
     1     9    20
     2     9    20

如果你想要问题中的矩阵，你可以使用sortrows:

combs = sortrows(combvec(vectors{:}).')
% Or equivalently as per @LuisMendo in the comments: 
% combs = fliplr(combvec(vectors{end:-1:1}).') 

给了

combs =

     1     3    10
     1     3    20
     1     6    10
     1     6    20
     1     9    10
     1     9    20
     2     3    10
     2     3    20
     2     6    10
     2     6    20
     2     9    10
     2     9    20

如果您查看combvec 的内部结构（在命令窗口中输入edit combvec），您会发现它使用的代码与@LuisMendo 的答案不同。我不能说总体上哪个更有效。

如果您碰巧有一个矩阵，其行类似于早期的元胞数组，您可以使用：

vectors = [1 2;3 6;10 20];
vectors = num2cell(vectors,2);
combs = sortrows(combvec(vectors{:}).')

Answer 3

我已经对两个提议的解决方案进行了一些基准测试。基准测试代码基于timeit function，包含在本文末尾。

我考虑两种情况：三个大小为n 的向量，以及三个大小分别为n/10、n 和n*10 的向量（两种情况给出相同数量的组合）。 n 最大变化为 240（我选择这个值是为了避免在我的笔记本电脑中使用虚拟内存）。

结果如下图所示。基于ndgrid 的解决方案被认为比combvec 花费的时间更少。值得注意的是，combvec 所花费的时间在不同大小的情况下变化不大。

---

基准代码

基于ndgrid的解决方案的功能：

function combs = f1(vectors)
n = numel(vectors); %// number of vectors
combs = cell(1,n); %// pre-define to generate comma-separated list
[combs{end:-1:1}] = ndgrid(vectors{end:-1:1}); %// the reverse order in these two
%// comma-separated lists is needed to produce the rows of the result matrix in
%// lexicographical order
combs = cat(n+1, combs{:}); %// concat the n n-dim arrays along dimension n+1
combs = reshape(combs,[],n);

combvec 解决方案的函数：

function combs = f2(vectors)
combs = combvec(vectors{:}).';

通过在这些函数上调用 timeit 来测量时间的脚本：

nn = 20:20:240;
t1 = [];
t2 = [];
for n = nn;
    %//vectors = {1:n, 1:n, 1:n};
    vectors = {1:n/10, 1:n, 1:n*10};
    t = timeit(@() f1(vectors));
    t1 = [t1; t];
    t = timeit(@() f2(vectors));
    t2 = [t2; t];
end

Answer 4

这是一种自己动手的方法，使用nchoosek，虽然它不比@Luis Mendo 公认的解决方案更好，但让我高兴地咯咯笑。

对于给出的示例，在运行 1000 次后，此解决方案平均占用我的机器 0.00065935 秒，而接受的解决方案为 0.00012877 秒。对于较大的向量，遵循@Luis Mendo 的基准测试帖子，此解决方案始终比公认的答案慢。尽管如此，我还是决定发布它，希望您能从中找到一些有用的东西：

代码：

tic;
v = {[1 2], [3 6 9], [10 20]};

L = [0 cumsum(cellfun(@length,v))];
V = cell2mat(v);

J = nchoosek(1:L(end),length(v));
J(any(J>repmat(L(2:end),[size(J,1) 1]),2) | ...
  any(J<=repmat(L(1:end-1),[size(J,1) 1]),2),:)  = [];

V(J)
toc

给予

ans =

 1     3    10
 1     3    20
 1     6    10
 1     6    20
 1     9    10
 1     9    20
 2     3    10
 2     3    20
 2     6    10
 2     6    20
 2     9    10
 2     9    20

Elapsed time is 0.018434 seconds.

说明：

L 使用cellfun 获取每个向量的长度。尽管cellfun 基本上是一个循环，但考虑到您的向量数量必须相对较少才能使这个问题变得实用，它在这里很有效。

V 连接所有向量以便稍后访问（假设您将所有向量作为行输入。v' 适用于列向量。）

nchoosek 获得从元素总数L(end) 中挑选n=length(v) 元素的所有方法。 这里的组合会比我们需要的多。

J =

 1     2     3
 1     2     4
 1     2     5
 1     2     6
 1     2     7
 1     3     4
 1     3     5
 1     3     6
 1     3     7
 1     4     5
 1     4     6
 1     4     7
 1     5     6
 1     5     7
 1     6     7
 2     3     4
 2     3     5
 2     3     6
 2     3     7
 2     4     5
 2     4     6
 2     4     7
 2     5     6
 2     5     7
 2     6     7
 3     4     5
 3     4     6
 3     4     7
 3     5     6
 3     5     7
 3     6     7
 4     5     6
 4     5     7
 4     6     7
 5     6     7

由于v(1) 中只有两个元素，我们需要丢弃所有包含J(:,1)>2 的行。同理，其中J(:,2)<3、J(:,2)>5等...使用L和repmat我们可以判断J的每个元素是否在其合适的范围内，然后使用any丢弃具有任何不良元素。

最后，这些不是来自v 的实际值，只是索引。 V(J) 将返回所需的矩阵。