为什么这个公式是用这个 Matlab 代码编写的？

Question

在this 论文的第 4 节中，提出了以下公式以对大小为 p 的核矩阵 K 进行零中心化：

这是我对应于上述公式的代码：

K = K - (1/p)*(K*ones(p,1))*ones(1,p) - (1/p)*ones(p,1)*(ones(1,p)*K) + (1/p^2)*sum(sum(K));

我对代码与论文中实际公式的关系感到困惑。特别是最后两个成员- (1/p)*ones(p,1)*(ones(1,p)*K) 和(1/p^2)*sum(sum(K))。

谁能解释一下？

Answer 1

好吧，代码并不完全正确。第三项包括一个K，这在论文中给出的公式中没有。此外，最后一项不会与 e e^T 相乘。但是，在这种情况下可以省略后者，因为 MATLAB 会自动将标量添加到矩阵中的所有元素。这同样适用于第三项，因此也可以在此处省略。
以下是上述简化的正确版本：

K = K - (1/p)*(K*ones(p,1))*ones(1,p) - 1/p + (1/p^2)*sum(sum(K))

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我们可以通过只调用一次ones 来进一步简化，因为ones(p,1)*ones(1,p) 为您提供与ones(p) 相同的结果。此外，sum(sum(K)) 可以替换为sum(K(:))。
它看起来像这样：

K = K - (1/p)*K*ones(p) - 1/p + (1/p^2)*sum(K(:))

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现在我们可以将其与公式的一对一实现进行比较。因此，我们将使用e = ones(p,1) 来表示e。要获得 e^T，您只需将 e 转置为 .'。所以公式可以写成：

K = K - (1/p)*K*e*e.' - (1/p)*e*e.' + ((e.'*K*e)/p^2)*e*e.'

注意e.'*K*e只是计算K中所有元素的总和，等于sum(K(:))。这是有效的，因为e = ones(p,1)。

让我们生成一些样本数据并比较结果：

rng(8);             % make it reproducible
p = 3;              % size of matrix
K = randi(10,p);    % generate random matrix
e = ones(p,1);      % generate e-vector

K1 = K - (1/p)*(K*ones(p,1))*ones(1,p) - 1/p + (1/p^2)*sum(sum(K))
K2 = K - (1/p)*K*ones(p) - 1/p + (1/p^2)*sum(K(:))
K3 = K - (1/p)*K*e*e.' - (1/p)*e*e.' + ((e.'*K*e)/p^2)*e*e.'
K4 = K - (1/p)*K*e*e.' - (1/p)*e*e.' + sum(K(:))/p^2

结果如下：

K1 =
    8.0000    5.0000    4.0000
    9.6667    2.6667    4.6667
    9.3333    1.3333    6.3333
K2 =
    8.0000    5.0000    4.0000
    9.6667    2.6667    4.6667
    9.3333    1.3333    6.3333
K3 =
    8.0000    5.0000    4.0000
    9.6667    2.6667    4.6667
    9.3333    1.3333    6.3333
K4 =
    8.0000    5.0000    4.0000
    9.6667    2.6667    4.6667
    9.3333    1.3333    6.3333