需要算法帮助（N 个袋子和随机分发的物品）

Question

我遇到了一个算法问题，但我无法找出比蛮力更好的方法，也无法将其简化为一个更清楚的问题。有什么提示吗？

有 N 袋不同尺寸和 N 种物品。每种类型的物品都属于一个袋子。每种类型都有很多物品，每个物品的尺寸可能不同。最初，这些物品随机分布在所有袋子中。我们必须将这些物品放在各自的袋子里。但是，我们一次只能操作一对袋子，方法是交换物品（尽可能多地），然后进行下一对。 目的是减少对的总数。 编辑：目的是找到一个转移序列，使所涉及的袋对总数最小化

澄清：

袋子不是任意大的（如果有帮助，您可以假设袋子和物品的大小是 0 到 1000 之间的整数）。您会经常遇到由于其中一个袋子的容量有限而无法交换 2 个袋子之间的所有物品的情况。这是算法需要进行优化的地方。也许，如果先交换另一对包，则可以一次完成当前的交换。为了说明这一点，让我们分别考虑袋子 A、B 和 C 及其项目 1、2、3。括号中的数字是尺寸。

A(10) : 3(8)

B(10): 1(2), 1(3)

C(10): 1(4)

掉期订单可以是 AB、AC、AB 或 AC、AB。后者是最佳的，因为交换的数量较少。

Answer 1

由于我无法想出一个总能找到最佳答案的算法，并且解决方案的适应度（交换量）的近似值也很好，我建议使用带有修剪的随机局部搜索算法。

给定一个随机的起始配置，该算法会考虑所有可能的交换，并根据机会做出权衡决定：交换越好，选择它的可能性就越大。

交换的价值将是物品交易价值的总和，如果物品没有最终进入它的归属袋，则该值为零，如果最终到达那里，则为正数。该值随着项目大小的增加而增加（其背后的想法是，与较小的块相比，较大的块难以移动多次）。这个适应度函数可以被任何其他适应度函数代替，它的效率在经验证明之前是未知的。

由于任何配置都可能是许多先前交换的结果，因此我们会跟踪我们之前看到的配置以及适应度（基于正确包中的物品数量 - 这种适应度与价值无关交换）和先前交换的列表。如果配置的适应度函数是其正确包中的项目的总和，则问题中的项目数量是最高的适应度（因此将配置标记为解决方案）。

如果满足以下条件，则不可能进行交换：

• 在可能的交换之后，任何一个受影响的袋子的容量都超过了它的容量。
• 新的交换让您回到上次交换之前的最后一个配置（即反向交换）。

当我们确定潜在的交换时，我们会查看之前看到的配置列表（使用散列函数进行 O(1) 查找）。然后我们要么将它的先行交换设置为我们的先行交换（如果我们的列表比它的短），或者我们将我们的先行交换设置到它的列表（如果它的列表比我们的短）。我们可以这样做，因为我们进行了哪些交换并不重要，只要交换的数量尽可能少。

如果配置中没有更多可能的交换，则意味着您被卡住了。本地搜索告诉您“重置”，您可以通过多种方式执行此操作，例如：

• 重置为以前看到的状态（可能是您迄今为止看到的最好的状态？）
• 重置为新的有效随机解

注意

• 由于该算法仅允许您进行有效交换，因此每个配置都将满足所有约束条件。
• 算法不保证“停止”开箱即用，您可以实现最大迭代次数（交换）
• 该算法不能保证找到正确的解决方案，因为它最好在每次迭代时找到更好的配置。然而，由于一个完美的解决方案（一组交换）应该与一个几乎完美的解决方案密切相关，因此在导致无效配置（并非每个项目都正确袋）。
• 使用的适应度函数和策略很可能不是最有效的。你可以四处寻找更好的。更有效的适应度函数/策略应该会更快（更少迭代）产生良好的解决方案。