如何计算游戏2048的复杂性？

Question

编辑：这个问题不是What is the optimal algorithm for the game 2048?的重复问题

• 这个问题问“赢得比赛的最佳方式是什么？”
• 此问题询问“我们如何才能计算出游戏的复杂性？”

它们是完全不同的问题。我对走向“胜利”状态需要哪些步骤不感兴趣 - 我感兴趣的是找出是否可以计算可能的步骤总数。

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我一直在阅读 question 关于游戏 2048 的文章，其中讨论了创建在游戏中表现良好的算法的策略。

接受的答案提到：

游戏是一个离散的状态空间，完美的信息，象棋一样的回合制游戏

这让我想到了它的复杂性。对于像国际象棋这样的确定性游戏，有可能（理论上）计算出导致获胜状态的所有可能动作并向后工作，选择持续导致该结果的最佳动作。我知道这会导致大量可能的移动（在宇宙中的原子数量范围内）.. 但是 2048 或多或少复杂？

伪代码：

for the current arrangement of tiles
    - work out the possible moves
    - work out what the board will look like if the program adds a 2 to the board
    - work out what the board will look like if the program adds a 4 to the board
    - move on to working out the possible moves for the new state

在这一点上，我想我会在这里等待它运行一段时间......

所以我的问题是 - 我将如何开始编写这个算法 - 哪种策略最适合计算游戏的复杂性？

我看到的 2048 和国际象棋之间的最大区别是程序可以在添加新棋子时在 2 到 4 之间随机选择 - 这似乎增加了大量额外的可能移动。

最终，我希望程序输出一个数字，显示游戏中可能排列的数量。这可能吗？！

Answer 1

让我们确定有多少种可能的板配置。

每个图块可以是空的，也可以包含 2、4、8、...、512 或 1024 的图块。

每个图块有 12 种可能性。有 16 个图块，因此我们得到 16¹² = 2⁴⁸ 个可能的棋盘状态 - 这很可能包括一些无法访问的状态。

假设我们可以将所有这些都存储在内存中，我们可以从所有棋盘状态向后工作，这些棋盘状态将在下一步生成 2048 个图块，做大量工作以将可达棋盘状态相互关联，这应该给出我们对每个状态进行概率最佳移动。

要将所有位存储在内存中，假设我们需要每个图块 4 位，即每个板状态 64 位 = 8 个字节。

2⁴⁸ 板状态将需要 8*2⁴⁸ = 2251799813685248 字节 = 2048 TB（更不用说为跟踪最佳板而增加的开销）。这有点超出了当今台式计算机所具备的能力，尽管可以巧妙地限制在任何给定时间所需的板数量，以减少到适合 3 TB 硬盘驱动器的东西，或者也许即使在 RAM 中。

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供参考，chess has an upper bound of 2¹⁵⁵ possible positions。

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如果我们从一开始就实际计算每一个可能的移动（以breadth-first search 类似的方式），我们会得到一个巨大的数字。

这不是确切的数字，而是对上限的粗略估计。

让我们做一些假设：（这绝对不总是正确的，但是，为了简单起见）

• 总是有 15 个空方格

• 你总是有 4 个动作（左、右、上、下）

• 一旦棋盘上所有棋子的总和达到 2048，则需要最少的组合数才能得到单个 2048（因此，如果放置 2 使总和为 2048，则组合将为 2 - > 4 -> 8 -> 16 -> ... -> 2048，即走10步）

• 总是会放置 2，而不是 4 - 算法不会假设这一点，但为了计算上限，我们会这样做。

• 我们不会考虑在此过程中可能会产生重复板的事实。

要达到 2048，需要放置 2048 / 2 = 1024 个图块。

您从 2 个随机放置的图块开始，然后反复移动并放置另一个图块，因此大约有 1022 个“回合”（一个回合包括移动和放置一个图块），直到我们得到总和 2048 ，然后再转10圈得到2048格。

在每一轮中，我们有 4 次移动，并且可以将两个图块中的一个放置在 15 个位置之一（30 种可能性），所以这是 4*30 = 120 种可能性。

这总共会给我们 120¹⁰³² 个可能的状态。

如果我们假设总是放置一个 4，我们会得到 120⁵¹⁹ 个状态。

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计算准确的数字可能会涉及到所有这些状态，这实际上是不可行的。