标准浮点数的 0 和 1 之间有多少个唯一值？答案

【问题标题】：How many unique values are there between 0 and 1 of a standard float?标准浮点数的 0 和 1 之间有多少个唯一值？
【发布时间】：2013-07-30 14:27:00
【问题描述】：

我猜这个问题的另一种表述方式是，使用仅介于 0 和 1 之间的 float 可以达到小数点几位？

我试图通过查看MSDN 来解决这个问题。其中表示精度为 7 位。我认为这意味着它只能跟踪 0.0000001 的变化。

但是如果我这样做：

float test = 0.00000000000000000000000000000000000000000001f;
Console.WriteLine(test);

它写出9.949219E-44

如果我再添加零，它将输出0。

我很确定我在这里遗漏了一些东西，因为这种精确度似乎大错特错。主要是因为浮点数的大小是 32 位，而从 0 到 1 的精度级别包含 1e+44 个可能的数字...

【问题讨论】：

这是 7 个重要数字。但是你也需要考虑非正规数等。
维基百科文章开始于：Single-precision floating-point format 和 Subnormal number。
另一个跟进：floating point types 上的语言规范
this converter 可以帮助您熟悉float 的真正工作原理。
您错误地假设 float 具有绝对精度。相反，它的精度会随着规模的变化而变化。

标签： c# floating-point ieee-754

【解决方案1】：

标准浮点数的 0 和 1 之间有多少个唯一值？

这并不是您真正想要回答的问题，但答案是，不包括 0 和 1 本身，在此范围内有 2**23 - 1 次正常数和 126 * 2**23 正常数，对于总共127 * 2**23 - 1，或1,065,353,215。

但请注意，这些数字不均匀分布在0 和1 之间的区间上。在从0f 到1f 的循环中使用1f / 1065353215f 的“增量”对您不起作用。

如果您想以（十进制）形式 0.00...01 的等长步长从 0.0 步进到 1.0，也许您应该使用 decimal 而不是 float。它将准确地表示这样的数字。

如果您坚持使用float，请尝试使用0.000001（比您建议的值大十倍），但请注意，使用不可表示的数字执行大量加法时可能会产生错误。

另请注意：在某些“域”中，您甚至无法计算 float 的前七位有效十进制数字。例如，尝试将值 0.000986f 或 0.000987f 保存到 float 变量（确保优化不会将值保存在“更宽”的存储位置）并写出该变量。前七位数字与0.0009860000 不同。 0.0009870000。如果您想处理十进制扩展为“短”的数字，您可以再次使用decimal。

编辑：如果您可以为循环使用“二进制”步骤，请尝试：

float delta = (float)Math.Pow(2, -24);

或等价于文字：

const float delta = 5.96046448e-8f;

这个增量的好处是，您通过循环遇到的所有值都可以在您的float 中完全表示。就在1f 之前（下），您将采取尽可能短的步骤来实现该规模。

【讨论】：

我当时可能确实问错了问题。我在问一个浮点数，因为它是一个框架的一部分，所以我不能将它更改为十进制。看来我真正需要使用的只是：0.000001，但这会将我的潜在价值降低到太低。我可能不得不采取另一条路线，例如使用整数，然后在 0 和 1 之间进行规范化。
@MatthewMcGovern 0.00...01 形式的步骤不适用于像 float 这样的二进制类型。请参阅我最近的编辑，了解二进制“整数”的步骤。
“每个计算机科学家都应该知道的关于浮点运算的知识”(docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html#929) 完全按照它上面所说的那样做。
如果你在循环中计算0.000001*i，而不是求和，你将只需要处理一个舍入误差，而不是累加。
@BlueRaja-DannyPflughoeft 好主意。还与 MatthewMcGovern 本人的上述评论有关，他谈到使用整数进行循环并“标准化”。

【解决方案2】：

它是 7 个有效位，也就是说，当用指数表示法写它时，你忽略了指数。

0.00000000000000000001234567 的有效位数与 12345670000000000000 相同，只是指数不同。这就是允许浮点数存储非常小的和非常大的数字的魔力。

至于 (0, 1) 中的 float 究竟有多少个可能的数字，我现在不能确切地说出来。你有一个 23 位尾数，所以它有 2²³ 个可能的状态。然后有一个 8 位指数，如果我没记错的话，大约一半的可能值将导致 0 到 1 之间的数字。这应该给你留下大约 2^{23 + 7} =该范围内有 2³⁰ 个可能的值。如果有任何可能是上限而不是确切值。我需要查阅有关更详细信息的文档才能准确了解（并且可能重新考虑上面的数学，这可能会遗漏几点）。

【讨论】：

如果我使用0 <= x >= 1 的值使用0.00000000000000000000000000000000000000000001f 的步骤，我会遇到任何问题吗？
那么，鉴于有效数字这一事实，我们能否确定 0 到 1 之间可能存在的不同值的确切数量？它会是可能的负指数数量的 10^7 倍吗？
当他请求0.00000000000000000000000000000000000000000001f 并得到9.949219e-44f 时，他进入了Single 类型的subnormal 范围。在这种情况下，他的前 5 位或 7 位有效小数位不正确，因为该数字不正常。
如果我数正确的话，正次正规数的个数是2**23 - 1，而严格小于1的正正规数个数是126 * 2**23。那么开区间从零到一的数字总数为127 * 2**23 - 1，或1,065,353,215。
这就是我现在粗略的知识崩溃的地方，但显然我的 2^30 上限是正确的，并且在这种情况下可能足够接近。我会把它留在这里，如果你想写一个事实正确的答案，而不需要任何猜测或近似值（这超出了我现在的知识范围），你可以这样做:-)

【解决方案3】：

我写了这个非常愚蠢的程序，它给出了答案1065353217，它确实只差 2³⁰ (1073741824)。如果您要查找所有数字不包括 0 和 1，请从该数字中减去 2。顺便说一下，最小的非零数字似乎是 1.401298E-45。

class Program
{
    public unsafe static int Search()
    {
        int i = 0;
        float* f = (float*)&i;
        while (*f >= 0 && *f <= 1)
        {
            f = (float*)&i;
            i++;
        }

        return i;
    }

    static void Main(string[] args)
    {
        Console.WriteLine(Search());
        Console.ReadLine();
    }
}

【讨论】：

在我对乔伊的回答的（更正）评论中，我得到1,065,353,215，所以我们同意。
嗯，我一直在尝试使用如此小的值，但我正在努力实现我需要的东西。似乎任何乘法都会破坏准确性。此外，如果最小的数字是1.401298E-45，为什么不循环并添加1,065,353,215 次等于1？
@MatthewMcGovern -- 相邻浮点数之间的步长随它们的比例而变化，因此没有一个浮点值可以逐步击中它们。你到底想做什么？
@RussellBorogove：简而言之，2D Isometric 游戏中的假 Z 深度。我试图想出一个聪明的方法来计算每个对象的深度，因为在 X Y 和 Z 轴上可能有数千个，并且深度参数必须是 0 到 1 之间的浮点数。我可能会放弃这个想法并直接跳到 3D，因为它解决了这个问题，而且更即时。
@MatthewMcGovern 如果我理解正确，您应该能够假装量化是 2^23 的倒数。接近 1.0 这是正确的，接近 0.0 实际量化更精细。

【解决方案4】：

正浮点值的排序与其编码相同。 0.0f 是 0x00000000。 1.0f 是 0x3f800000。因此，0x3f800000 - 1 浮点值严格介于两者之间，即 1,065,353,215。

如果您想在计数中包含端点，请记住有两种编码为零。

请记住，浮点值的间距不是均匀的。 1.0f 和下一个较小的数字之间的差是2**-24，而0.0f 和下一个较大的数字之间的差是2**-149。如果您想以统一的步长将浮点数从 0 增加到 1，则可以使用的最小步长为 2**-24。

【讨论】：

【解决方案5】：

由于浮点类型有 4 个字节数据，我们可以使用下面的代码检查所有 4 个字节（0-255）的所有可能变体，并计算其中有多少在 [0,1] 范围内 - 包括
所以答案将是 1065353218

附：代码执行可能需要 2-3 分钟，具体取决于 pc

public static void Main()
    {
        long count = 0;
        //byte checking sub/method
        void CheckThisBytes(byte ii, byte jj, byte kk, byte ll)
        {
            var data = new[] {ii, jj, kk, ll};
            var f = BitConverter.ToSingle(data, 0);
            //is f in range ?
            if (f >= 0.0 && f <= 1.0)
            {
                count++;
            }
        }
        const int max = 255;
        // generate all possible cases 
        for (var i = 0; i <= max; i++)
        {
            for (var j = 0; j <= max; j++)
            {
                for (var k = 0; k <=max; k++)
                {
                    for (var l = 0; l <= max; l++)
                    {
                        //check if current float is in range
                        CheckThisBytes((byte) i, (byte) j, (byte) k, (byte) l);
                    }
                }
            }
        }
        Console.WriteLine("\n Count:" + count);
        Console.ReadLine();
        //result will be  1065353218
    }

【讨论】：