Zeckendorf 和黄金比例基础之间的转换

Question

Zeckendorf 和 Golden Ratio Base 显然密切相关，但从一个转换到另一个似乎仍然很棘手。我知道 Frougny 和 Sakarovitch 对此进行了研究，但我还没有完全理解这一点。一个问题是黄金比例基础表示在小数点周围相当对称，这表明这些表示可能是上下文无关的。 Sakarovitch 和 Frougny 使用“折叠”的黄金比例基数来处理这个问题。通过这种修改后的表示，他们可以使用有限状态传感器进行转换，但我不知道这应该如何工作。

至于黄金比例基数的部分对称性，这与成对出现的根有关（George Bergman (pc) 对此进行了更长的解释）。

关于这两种表示之间的关系，我确实知道的一件事是，对于 d-1...d_i*d_j...d_n 形式的每个黄金比例基本表示（使用 '*' 作为小数点），有是涉及斐波那契数的对应方程：

Example 4 = 101.01 <=> 4f_n = f_{n+2} + f_n + f_{n-2}   (with f_0 = f_1 = 1
                                                          and f_n = f_{n-1} + f_{n-2})
For n=3,  f_n=3:  12 =   10101
for n=4,  f_n=5:  20 =  101010
for n=5   f_n=8:  32 = 1010100    

（等等。有一系列数字都具有与 4 的黄金比例基本表示相同的 Zeckendorf 位模式）。这确实看起来应该有帮助，但是如何？

这种模式在 D. Gerdemann，Zeckendorf family identities Fibonacci Quarterly，2008/2009 的组合证明中进行了讨论。

顺便说一句：尽管我在 Fibonacci Quarterly 上发表过一篇论文，但我在这方面完全是个业余爱好者。我的知识存在很多差距，包括我所询问的差距。

Answer 1

我知道这个答案晚了 1.75 年，但由于没有其他人试图回答它，我自己也在探索斐波那契数、泽肯多夫表示和黄金比例基础之间的联系，我会继续发布我在相关研究中发现的内容以及我最好的答案：

从现在开始，为了简洁起见，我将 golden ratio base 称为基本 phi 或 phinary。

与Fibonacci numbers 相比，基本 phi 与 Lucas numbers 的联系更紧密，这解释了您在直接转换它们时遇到的一些困难。但是卢卡斯数与斐波那契数的关系是：

L[n] = F[n-1] + F[n+1]

和

5 * F(n) = (L[n-1] + L[n+1])

卢卡斯数以这种方式与基本 phi 相关：

L[n] = phi^n + (-1/phi)^n 因此将为每个卢卡斯数设置基本 phi 中的第 n 和 -n 位。

斐波那契数 F[n] 以 phi 的幂的形式直接表示为：

F[n] = ( phi^n - (-1/phi)^n )/sqrt(5)（注意减号而不是加号）

在 phinary 中翻译为：

F[n] = ( 10^n - (-0.1)^n )/10.1

现在sprt(5) 可以直接用 phinary 表示为 10.1，但它只会在整数中包含 5 的因子时均分斐波那契数，因为 5 和它的倍数是唯一的整数 sqrt(5) 相除。这意味着在基础 phi 中，5 不是素数，但 sqrt(5) 是（从技术上讲，它是一个原始的素数理想）。 sqrt(5) 的行为非常类似于整数。事实上，在基本 phi 中可以有限表示的任何数字都称为Dirichlet Integer，因为它具有类似整数的行为。

我在this web page 上找到了上述公式，其中包含有关斐波那契数、卢卡斯数和 phi 之间关系的更多信息。

所以这是我对算法的尝试。我请求社区帮助我发现并纠正任何错误。我假设 Zeckendorf 和基本 phi 表示存储在一个数组中，其中 Zeckendorf 数组从 0 到 n 和 Phinary 数组从 -n 到 n，我正在使用类似 C 的伪代码：

for (int n = 0; n < length(Zeckendorf); n++) {
    if (Zeckendorf[n] == 1) {
        Phinary[n] = 1;
        /* in a real array, the negative n needs to be offset like fixed point */
        Phinary[-n] = -1; /* negative phinary digits
        can be converted to positive ones later
        (see Golden Ratio Base article on wikipedia) */
    }
}
Standardize(Phinary); /* Change -1's to 1's with 0,-1,0 -> -1,0,1
negatives will eventually cancel with their positive 1 neighbors to the left. */
/* Divide by sqrt 5 = 10.1 in phinary */
Sqrt5[-1 .. 1] = {1, 0, 1}
PhinalNumber = PhiDivide(Phinary, Sqrt5);

在golden ratio base 的维基百科文章中记录了标准化为最小形式的方法，并且可以使用Euclidean Division algorithm 执行除法。

更好的方法可能是使用Balanced Ternary Tau system，以便“围绕基数相当对称”属性变为“围绕第 0 位完全对称”属性（称为镜像对称属性）。描述它的论文是 Alexey Stakhov 的“Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic”。