Haskell 动态程序效率答案

【问题标题】：Haskell dynamic program efficiencyHaskell 动态程序效率
【发布时间】：2021-02-16 21:05:17
【问题描述】：

我正在学习更多关于动态编程的知识，并试图在 haskell 中实现它。我正在用不同的方法编写算法进行测试，发现一种比另一种更快。这是斐波那契问题

fib1 :: [Integer]
fib1 = 0:1:zipWith (+) fib1 (tail fib1)

fib2 :: [Integer]
fib2 = 0:1:[(fib2 !! (n-1)) + (fib2 !! (n-2)) | n <- [2..]]

fib1 比 fib2 快得多，但我不知道为什么。 fib2 看起来很直观，第 n 个数字是 (n-1)st 加上 (n-2)nd。我得到了 fib1，但看起来它每次都在压缩整个列表，所以不会花费更长的时间。只是计算下一个索引？

【问题讨论】：

计算fib2 !! n的成本随n线性增长。这是一个链表而不是向量。顺便说一句，最近关于斐波那契的问题有一些指示：SO_q66180076
我意识到 fib2 ！由于链表，n 是线性的。但是fib1呢？那不也是链表吗？
@Ro-Bert 是的，但是每次fib1 被要求生成另一个数字时，它只需要做 O(1) 的工作，而不是像 fib2 这样的 O(n)。（显然，加上 Integer 添加所需的时间，但这对于两种实现来说都是一样的。）
好的。我想我有点预料到会发生这种情况。我知道 fib2 每次都有 O(n)，所以它实际上是 O(n^2)。那么我不正确理解 zipWith 吗？我觉得这也应该是 O(n)。除非它不像 for 循环那样遍历列表。
其实这帮了大忙。我在想 zipWith 也是线性的。但这有助于我进行研究。我发现这个线程stackoverflow.com/questions/55291798/… 很好地解释了它。

标签： haskell dynamic fibonacci

【解决方案1】：

Haskell 中的列表是惰性的。它们在被使用时被计算，但不是更进一步。

函数 fib1 确实计算了整个列表，但只计算一次，并且只计算到您要求的索引。

函数 fib2 做了很多额外的工作：它可能会多次计算元素。

试着用笔和纸来做。例如，在 fib2 的情况下！！ 5，列表需要扩展到索引5。计算fib2！ 0 和 fib2 ！ 1 需要很少的时间，因为它们是常数。下一个元素，fib2 ！ 2 是通过添加 fib2 来计算的！ 0 和 fib2 ！ 1，然后是 fib2 ！ 3 = fib2 !! 1 + fib2 !! 2，以此类推。

但是。

这里要注意的最重要的一点是，编译器和/或运行时不记忆 fib2 函数，这意味着：它不记得以前的计算。因此，每次代码遇到fib2 !! n 时，它都会重新开始计算，无论之前已经完成了多少次，即使这发生在同一个（递归）函数调用中。

关于计算效率，你的 fib2 实现等价于：

fib3' :: Integer -> Integer
fib3' 0 = 0
fib3' 1 = 1
fib3' n = fib3' (n - 2) + fib3' (n - 1)

fib3 :: [Integer]
fib3 = [fib3' n | n <- [0..]]

同样的效率低下，我只是将列表部分排除在外。

另一方面，fib1 利用之前的计算，通过使用它们来避免重新计算它们。这就是动态编程背后的核心思想：使用可用于存储和检索先前计算结果的数据结构，以将可能昂贵的递归函数调用交换为 - 非常 - 非常便宜的查找。

【讨论】：

【解决方案2】：

@netom 抱歉，但我不认为这是正在发生的事情。我按时进行了一些测试，计算出第 10000 个数字需要 0.7 秒。在同一次运行中，可以立即计算出第 10000 + 9999（第 10001 个数字），表明它被记住了。

然后我测试了新计算第 10001 个所需的时间，计算第 10001 个所需的时间与计算第 10000 个并记住所有其余部分的时间相同。要计算第 10001 个，它不会计算 10000 和 9999（在单独的递归中），它的行为就像你期望的那样，如果它只是索引了记住的列表。

然而，递归函数需要几乎两倍的时间！所以他们都正确地使用了动态编程。但正如我发现的那样，fib2 每一步都需要 O(n) 才能访问数组，但 fib1 每一步都需要 O(1) 压缩它。

【讨论】：