两条折线之间的距离答案

【问题标题】：Distance between two polylines两条折线之间的距离
【发布时间】：2017-08-24 12:19:33
【问题描述】：

我要计算两条折线之间的距离d：

显然我可以检查所有线段对的距离并选择最小的距离，但是这样算法的运行时间将是 O(n²)。有没有更好的办法？

【问题讨论】：

这看起来像是 quadtrees 可能有用的东西 - 但在我看来，没有什么比这更有用了。
不知道答案，但我猜一些基于四叉树的算法一定是可能的，你只计算附近元素之间的点线距离。
基于边界框的方法可能会有所帮助。计算部分折线的边界框（例如，A 中的点 1...4、4...7 和 B 中的 8...10、10...12）。对于每对框，您可以计算最小和最大距离并丢弃无法与最佳对竞争的对，递归地细化框，直到它们都是 2 点（1 线）框，您可以在其中精确计算。似乎是 O(N logN)。
在您的示例中，最近的点位于折线的顶点，这只是一种特殊情况 - 如果 2 条线段相交但该交点处没有顶点，则距离是否为零？
是——如果两个线段相交，它们的距离为零。

【解决方案1】：

分而治之：

定义一个数据结构，表示一对折线和它们之间的最小距离axis-aligned minimum bounding boxes (AAMBB):pair = (poly_a, poly_b, d_ab))
为pair数据结构创建一个空队列，使用距离d_ab作为键。
使用初始折线创建pair 数据结构并将其推入队列。
我们将保留一个变量，其中包含到目前为止找到的多段线之间的最小距离 (min_d)。将其设置为无限。
重复：
- 从队列中弹出距离最小的元素d_ab。
- 如果d_ab 大于min_d，我们就完成了。
- 如果任何折线poly_a 或poly_b 包含唯一线段：
  - 使用蛮力找出两者之间的最小距离并相应地更新min_d。
- 否则：
  - 将两条折线poly_a 和poly_b 分成两半，例如：
    
    (1-7) --> { (1-4), (4-7) }
    
    (8-12) --> { (8-10), (10-12) }
  - 做两个集合的叉积，创建4个新的pair数据结构，然后推入队列Q。

平均情况下，复杂度为 O(N * log N)，最坏情况可能为 O(N²)。

更新：algorithm 在 Perl 中实现。

【讨论】：

【解决方案2】：

此类问题的“标准”方法是构建几何实体的 Voronoi 图。这可以在 O(N Log N) 时间内完成。

但是为线段构建此类图表很困难，您应该求助于现成的解决方案，例如 CGAL。

【讨论】：

一个 voronoi gram 可用作查找表，用于从任何地方查找最近的点，如果这些点不会改变并且您必须从许多其他点查找最近的点，那么它可能是值得的它生成 voronoi 以加快查找速度。但我看不到它如何帮助计算两条折线之间的距离？