在不跟踪余数的情况下计算商的除法算法答案

【问题标题】：Division algorithm for calculating quotient without keeping track of remainder在不跟踪余数的情况下计算商的除法算法
【发布时间】：2019-06-03 07:28:07
【问题描述】：

作为一个业余项目，我正在尝试使用独立的 C 来实现一些加密算法——即没有标准库函数的 C 变体（标准库类型和常量仍然可用），并且没有可选VLA（可变长度数组）等功能。

我做过的一件事是为大整数（大小 > 128 位）实现了一些函数。但是，此设置中的整数除法函数需要以当前形式跟踪余数，并且由于我使用的是独立环境，因此调用者必须为其提供空间。

是否可以实现除法算法来计算商而不依赖于跟踪余数，并且可能使用位切片技术？使用调用递归将变量保留在堆栈中是可以接受的。

我们假设大整数的类型是 bigint_t：

#define N 8
typedef uint32_t bigint_t[N]; // least-significant word first.

【问题讨论】：

为什么不跟踪余数？是随意的限制，还是有原因的？
由于是独立的，调用者必须为剩余部分提供空间。
如果没有答案中建议的二进制方法（可以使用类似的方法来取整数平方根），您如何在不跟踪余数的情况下进行除法？想想用铅笔和纸做除法的方法：进位在计算中移动并变成余数。但是，在实现 % 模数运算符时，保留余数而不是商是可行的。
我不明白您如何负担得起带有变量但没有余数的递归调用堆栈。
为什么不使用 Newton Raphson Division？有了正确的初始猜测，它需要大约 5 步来收敛，大约需要 10 次乘法和加法。

标签： c algorithm cryptography division

【解决方案1】：

我了解到您担心剩余部分需要的额外空间，因为您不能调用 malloc。

请注意，在正常的长除法实施过程中，商的长度会随着被除数缩小为余数而增长。在每个阶段，商和余数一起最多需要一个恒定的空间，而不是原始股息所需的空间。

如果将被除数余数和增长商保持在同一个数组中，则额外数字只需要几个变量。

【讨论】：

虽然这不需要调用者为余数提供空间，但它需要提供一个可写的除数。
你要求调用者为商提供多少空间？
如问题中所问，8 个 32 位字（共 256 位），以最低有效字的第一顺序排列。
如果您要求整个 256 位的商，那么您可以在工作时将正在进行的商和被除数的余数存储在其中。

【解决方案2】：

您可以使用二进制搜索。选择一个数字，乘以除数。如果结果太大，减少数字；如果结果太小，请增加数字。控制增量/减量，使其呈指数趋于零。

【讨论】：

您可以从 MSB 开始。设置它，如果产品太大，取消它。对 LSB 的每一位重复。但在示例中，需要 256 次长乘法来计算商。
似乎是唯一可行的解决方案，它需要重量级乘法运算作为构建块，甚至不是恒定时间。
试用产品是否还需要临时空间？我认为目标是使用 O(1) 临时人员完成这项工作。
不清楚目标是什么。也不清楚 N 是否为 O(1)。
我的评论是基于 OP 在对问题的第二条评论中的澄清：“因为独立，调用者必须为剩余部分提供空间。”当然，该澄清应该编辑到问题中。