绘制向量 w 以及另一个向量在 w 上的投影

Question

如何绘制矢量 w 以及投影到该矢量上的数据？ 这是代码 - 以及我使用 y1 和 y2 绘制权重向量的试验。

x1=[1 2;2 3;3 3;4 5;5 5]  % the first class 5 observations
x2=[1 0;2 1;3 1;3 2;5 3;6 5]
m1 = mean(x1); 
m2 = mean(x2); 
m = m1 + m2; 
d1=x1-repmat(m1,5,1);
d2=x2-repmat(m2,6,1);
c = 0.5.*m; 
Sw1 = d1'*d1;
Sw2 = d2'*d2;
Sw = Sw1 + Sw2; 
invSw = inv(Sw);
w= invSw*(m1-m2)' %this is my vector projected
scatter(x1(:,1), x1(:,2), 10, 'ro');
hold on;
scatter(x2(:,1), x2(:,2), 10,'bo');
%this is how i plot the decision boundary, but it doesn't seems correct. 
quiver(c(1,1), c(1,2), 1, -w(1,1)/w(2,1));
quiver(c(1,1), c(1,2), -1, w(1,1)/w(2,1));

auxw= w/norm(w);
plot([0 auxw(1)], [0 auxw(2)]) 
hold off;
figure; 
y1 = x1*w; 
y2 = x2*w; 
hist([y1' y2'])

Answer 1

你很亲密。您只计算（或尝试计算）标量投影或应用于每个向量的比例量，以便将 x1 和 x2 中的每个向量投影到 w 上，尽管您所拥有的并不完整。如果从线性代数中回忆，要确定两个向量a 和b 之间的标量投影，或者b 到a 的标量投影，公式为：

^{Source: Oregon State Mathematics: Calculus for Undergraduates}

在我们的例子中，a 将是 w 和 b 将是在 x1 和 x2 中看到的每个向量。我假设这些矩阵的每一行都是一个向量。在y1 和y2 中可以看到标量投影。您需要计算 vector 投影，其定义为取标量投影并乘以a 的单位向量，或者简单地说：

^{Source: Oregon State Mathematics: Calculus for Undergraduates}

因此，y1 和 y2 中标量投影的计算不正确。您必须乘以 normalized 向量 w，然后当您找到这些标量投影值时，将这些标量值中的每一个与相应的 normalized 向量 w 相乘.但是，将所有这些同时绘制在图表上会令人困惑。您将有许多行将与原始向量 w 重叠，所以我所做的是循环绘制 w、x1 或 x2 中的向量以及相应的投影向量。每次循环时，我们都会暂停并显示数据，然后清除图形并重新开始。

因此，我在您的代码中添加并更改了以下内容。

%// Your data
w = [-0.7936; 0.8899];
x1 = [1 2; 2 3; 3 3; 4 5; 5 5];
x2 = [1 0; 2 1; 3 1; 3 2; 5 3; 6 5];

%// Compute scalar projection
auxw = w/norm(w);
s1 = x1*auxw;
s2 = x2*auxw; %// Change for correctness

%// Compute the vector projection
y1 = bsxfun(@times, s1, auxw.');
y2 = bsxfun(@times, s2, auxw.');

%// Place the original vectors and corresponding projections
%// in one matrix
y = [y1; y2];
x = [x1; x2];

%// Loop through and plot w, a point in either x1 or x2
%// and the corresponding projection
for ii = 1 : size(y,1)
    plot([0 w(1)], [0 w(2)]);
    hold on;
    plot([0 y(ii,1)], [0 y(ii,2)], 'r');
    plot([0 x(ii,1)], [0 x(ii,2)], 'g');
    pause(0.5);
    clf;
end

函数bsxfun 允许我们将x1 和x2 中的每个向量乘以它们对应的标量值。具体来说，它将采用向量s1 和s2，当我们将auxw 转置为1 x 2 向量时，我们将创建新矩阵y1 和y2，其中任一行都将计算向量x1 和 x2 的投影，并将它们放入 y1 和 y2 的行中。

最后的循环循环通过w、x1 或x2 中的一个向量以及相应的投影向量，每次一个，我们每次暂停 0.5 秒以查看结果的样子。矢量w 为蓝色，投影矢量为绿色，来自x1 或x2 的原始矢量为红色。

我们得到这些系列的数字：

我们可以看到红线，它是从x1 或x2 到w 的投影向量。绿线是来自x1 或x2 的原始向量。