将小数转换为只有两位数的二进制：1 和 2

Question

我的大学书上的练习有问题。这里是：

我们对表示只有两个数字的正整数的二进制系统感兴趣：1 和 2（没有零！）。随后的位置对应于两者的连续幂，如在通常的二进制表示法中：在第 k 个位置有一个数字，其值乘以 2^k，因为 k = 0, 1, 2...。在这个系统中——因为没有前导零——除了前面提到的数字表示之外，我们使用一个值来指定所选数字的数量，我们称之为 c。因此，每个数字由一对 (a, c) 表示，其中 a 是 1 和 2 的有限序列，c 确定该序列的长度。例如，对 (12, 3) 代表数字 4，对 (221, 3) 代表数字 13。编写一个函数，对于正数 x，确定其值在相关系统中的表示并通过参数 y 传递它。让我们同意，如果 x 不是正数，字段 c 的值应该是 0。

我发现我可以轻松地将十进制输入转换为二进制系统，然后将二进制转换为练习中提到的系统。从右边开始，我需要通过将高位 1 转换为低位 2 来删除零。

E.g.: Decimal = 21. Binary = 10101. the system form the exercise = 10101 -> 10021 ; 10021 -> 02021 -> 01221

但是，可能有更有效的解决方案可以将练习中的十进制直接转换为系统。感谢您在寻找算法思维路径方面的帮助。然后我会自己编写代码以确保我理解它。

这是我在论坛上的第一篇文章，英语不是我的母语。如果我表达得不够清楚，我很抱歉。

亲切的问候

Answer 1

让 n 成为我们试图表示的数字。 c 必须满足的数

2⁰ + 2¹ + … + 2^c−1 = 2^c - 1 ≤ n ≤ 2^c+1 - 2 = 2 (2⁰ + 2¹ + … + 2^c−1)。

通过检查，这些范围划分了自然数，所以唯一解是 c = ⌊log₂ (n+1)⌋ .楼层日志通常可以用一条指令计算，或者您可以使用bit-twiddling hack。

一旦我们知道 c，我们只需要找到 n 的通常二进制表示 - (2⁰ + 2¹ + … + 2^c-1) = n - (2^c - 1) 和每个数字加一。