删除自然数第 k 遍中的每个 (k+1) 个剩余元素

Question

在自然数系列中，我们必须在第一遍中删除每个第二个元素。然后在剩余的元素中，删除第二遍中的每个第 3 个元素。然后在第 K 次通过时，从剩余元素中删除每个第 (k+1) 个元素。

这个系列会这样发展

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, ...

在第 1 遍之后（在删除每个第 2 个元素之后），

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, ...

在第二遍之后，（在删除每个第三个元素之后），

1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, ...

第三遍之后，（每删除第四个元素之后），

1, 3, 13, 15, 19, 25, 27, ...

所以，在无穷大通过之后，就会变成

1, 3, 7, 13, 19, 27, 39, 49, 63, 79, ...

这个系列也被称为 Flavius-Josephus 筛子。

解决方案，找到系列中的第 6 个元素：

• 做 6^2 = 36
• 下降到 5 的倍数得到 35
• 然后下降到 4 = 32 的倍数
• 然后下降到 3 的倍数 = 30
• 然后下降到 2 = 28 的倍数
• 然后下降到 1 = 27 的倍数
• 所以第六个幸运数字是 27。

虽然可行，但我不明白解决方案的工作原理？

这是一个 C 程序，

int calc(int n)
{
   if (n == 1) return 1;
   return calc_rec(n*n, n-1);
}

int calc_rec(int nu, int level)
{
   int tmp;
   if (level == 1) return (nu-1);
   tmp = nu % level;
   return calc_rec(nu - (tmp ? tmp : level), level-1);
}

解释这个http://oeis.org/A000960的链接

Answer 1

这并不能回答你的问题，但这里是一种更直观的算法的推导，用于计算同样快的流的任意元素。

我们将包含所有整数的初始序列称为 S[0]，然后将 S[1] 称为第一遍之后的序列，S[2] 称为第二遍之后的序列，依此类推。

在序列 S[0] 上，第 N 个整数（从零开始的索引）是 N + 1。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

在序列 S[1] 上，通过访问 S[0] 中的第 (2N) 个元素获得第 N 个整数。注 2N = N+(N div 1)。 'div' 是整数除法，即舍弃余数的除法。

1 3 5 7 9 11 13 15 17 ...

在序列 S[2] 上，通过访问 S[1] 中的第 N+(N div 2) 个元素获得第 N 个整数。

1 3 7 9 13 15 19 21 ...

在序列S[3]上，通过访问S[2]中的第N+(N div 3)个元素获得第N个整数，以此类推。

1 3 7 13 15 19 ...

因此你得到以下递归过程：

get_number(int series, int N):
   if (series == 0):
      return N + 1
   else:
      return get_number(series - 1, N + floor(N / series))

但请注意，当 series > N 时， floor(N / series) 相同为零，因此您可以始终将其称为 get_number(N, N)。

例如，

get_number(5, 5) = get_number(4, 6) = get_number(3, 7) =
  get_number(2, 9) = get_number(1, 13) = get_number(0, 26) = 27.

这显示了如何从流中获取“27”作为第 6 个（5 个但从零开始的索引）。