不是二进制交叉熵中的二进制地面实况标签？

Question

对二元交叉熵不使用二元基本真值是否有意义？有什么正式的证明吗？

看起来像在实践中使用：例如在https://blog.keras.io/building-autoencoders-in-keras.html 中，即 mnist 图像不是二进制图像，而是灰色图像。

这里是代码示例：

1.正常情况：

def test_1():
    print('-'*60)

    y_pred = np.array([0.5, 0.5])
    y_pred = np.expand_dims(y_pred, axis=0)
    y_true = np.array([0.0, 1.0])
    y_true = np.expand_dims(y_true, axis=0)

    loss = keras.losses.binary_crossentropy(
        K.variable(y_true),
        K.variable(y_pred)
    )

    print("K.eval(loss):", K.eval(loss))

输出：

K.eval(loss): [0.6931472]

2.非二元真实值情况：

def test_2():
    print('-'*60)

    y_pred = np.array([0.0, 1.0])
    y_pred = np.expand_dims(y_pred, axis=0)
    y_true = np.array([0.5, 0.5])
    y_true = np.expand_dims(y_true, axis=0)

    loss = keras.losses.binary_crossentropy(
        K.variable(y_true),
        K.variable(y_pred)
    )

    print("K.eval(loss):", K.eval(loss))

输出：

K.eval(loss): [8.01512]

3.[0,1]范围外的真值：

def test_3():
    print('-'*60)

    y_pred = np.array([0.5, 0.5])
    y_pred = np.expand_dims(y_pred, axis=0)
    y_true = np.array([-2.0, 2.0])
    y_true = np.expand_dims(y_true, axis=0)

    loss = keras.losses.binary_crossentropy(
        K.variable(y_true),
        K.variable(y_pred)
    )

    print("K.eval(loss):", K.eval(loss))

输出：

K.eval(loss): [0.6931472]

由于某种原因，test_1 和 test_3 中的丢失是相同的，可能是因为将 [-2, 2] 裁剪为 [0, 1] 但我在 Keras 代码中看不到裁剪代码。 同样有趣的是，test_1 和 test_2 的损失值有很大差异，但在第一种情况下，我们有 [0.5, 0.5] 和 [0.0, 1.0]，在第二种情况下，我们有 [0.0, 1.0] 和 [0.5, 0.5] ]，这是相同的值，但顺序相反。

在 Keras 中 binary_crossentropy 定义为：

def binary_crossentropy(y_true, y_pred):
    return K.mean(K.binary_crossentropy(y_true, y_pred), axis=-1)


def binary_crossentropy(target, output, from_logits=False):
    """Binary crossentropy between an output tensor and a target tensor.

    # Arguments
        target: A tensor with the same shape as `output`.
        output: A tensor.
        from_logits: Whether `output` is expected to be a logits tensor.
            By default, we consider that `output`
            encodes a probability distribution.

    # Returns
        A tensor.
    """
    # Note: tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits
    # expects logits, Keras expects probabilities.
    if not from_logits:
        # transform back to logits
        _epsilon = _to_tensor(epsilon(), output.dtype.base_dtype)
        output = tf.clip_by_value(output, _epsilon, 1 - _epsilon)
        output = tf.log(output / (1 - output))

    return tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(labels=target,
                                                   logits=output)

Answer 1

是的，它“有道理”，因为交叉熵是概率分布之间差异的度量。也就是说，any 分布（当然是在相同的样本空间上）——目标分布是 one-hot 的情况实际上只是一种特殊情况，尽管它在机器学习中的使用频率很高。

一般来说，如果p 是您的真实分布并且q 是您的模型，则q = p 的交叉熵最小化。因此，使用交叉熵作为损失将鼓励模型向目标分布收敛。

关于情况1和2的区别：交叉熵不是对称的。它实际上等于真实分布p 的熵加上p 和q 之间的KL 散度。这意味着p 更接近均匀（更少“单热”），它通常会更大，因为这样的分布具有更高的熵（我认为 KL 散度也会不同，因为它不是对称的）。

至于案例3：这实际上是使用0.5作为output的神器。事实证明，在交叉熵公式中，项将完全以这样一种方式抵消，即无论标签如何，您总是得到相同的结果 (log(2))。当您使用输出时，这将改变！= 0.5;在这种情况下，不同的标签会给你不同的交叉熵。例如：

• output 0.3, target 2.0 给出 2.0512707 的交叉熵
• output 0.3, target -2.0 给出 -1.3379208 的交叉熵

第二种情况实际上给出了一个负输出，这是没有意义的。恕我直言，该函数允许 [0,1] 范围之外的目标是一个疏忽；这应该会导致崩溃。交叉熵公式工作得很好，但结果毫无意义。

我还建议阅读 the wikipedia article 关于交叉熵。它很短，包含一些有用的信息。