LL(1) Parsing -- First(A) with Recursive First Alternatives

Question

我如何将 FIRST() 规则应用于生产，例如：

A -> AAb |抗体 | s

其中 A 是非终结符，b,s 是终结符。

备选方案 1 和 2 的 FIRST(A) 将再次成为 A，但由于我需要终端来获取 FIRST 集，因此这将导致 FIRST 的无限应用？

Answer 1

要计算 FIRST 集，您通常执行定点迭代。也就是说，您从一小组值开始，然后迭代地重新计算 FIRST 集，直到这些集收敛。

在这种情况下，您首先要注意产生式 A → s 意味着 FIRST(A) 必须包含 {s}。所以最初你设置 FIRST(A) = {s}。

现在，您遍历 A 的每个产生式，并根据您迄今为止计算的 FIRST 集的知识更新 FIRST。比如规则

A → AAb

意味着您应该更新 FIRST(A) 以包含 FIRST(AAb) 的所有元素。这不会导致 FIRST(A) 发生变化。然后你访问

A → Ab

您再次更新 FIRST(A) 以包括 FIRST(Ab)，这又是一个无操作。最后，您访问

A → s

而且由于 FIRST(A) 已经包含 s，这不会导致任何变化。

由于本次迭代没有任何改变，您最终会得到 FIRST(A) = {s}，这确实是正确的，因为从 A 开始的任何推导最终都会产生一个 s 作为其第一个字符。

有关更多信息，您可能会发现these lecture slides 很有用（这里是part two）。他们详细描述了自顶向下解析的工作原理以及如何迭代计算 FIRST 集。

希望这会有所帮助！

Answer 2

我的teaching notes 是西班牙语，但算法是英语。这是计算FIRST的一种方法：

foreach a ∈ Σ do
     F(a) := {a}
for each A ∈ N do
     if A→ε ∈ P then
          F(A) := {ε}
     else
          F(A) := ∅
repeat
     for each A ∈ N do
          F'(A) := F(A)
     for each A → X1X2...Xn ∈ P do
          if n > 0 then
               F(A) := F(A) ∪ F'(X1) ⋅k F'(X2) ⋅k ... ⋅k F'(Xn)
until F(A) = F'(A) forall A ∈ N
FIRSTk(X) := F(X) forall X ∈ (Σ ∪ N)

Σ 是字母表（终端），N 是非终端的集合，P 是产生式（规则）的集合，ε 是空字符串，⋅k 是连接修剪到k 的地方。请注意∅ ⋅k x = ∅，连接两个集合会产生笛卡尔积中元素的连接。

手动计算FIRST组的最简单方法是每次算法迭代使用一个表。

F(A) = ∅

F'(A) = F(A) ⋅1 F(A) .1 F(b) U F(A) .1 F(b) U F(s)
F'(A) = ∅  ⋅1 ∅ ⋅1 {b} U ∅  ⋅1 {b} U {s}
F'(A) = ∅ U ∅ U {s} 
F'(A) = {s}

F''(A) = F'(A) ⋅1 F'(A) .1 F'(b) U F'(A) .1 F'(b) U F'(s)  
F''(A) = {s} ⋅1 {s} ⋅1 {b} U {s} ⋅1 {b} U {s}
F''(A) = {s} U {s} U {s}
F''(A) = {s}

我们已经完成了，因为 F' = F''、FIRST = F'' 和 FIRST(A) = {s}。

Answer 3

您的语法规则有left recursion，正如您已经意识到的那样，LL 解析器有are not able to parse grammars with left recursion。

所以你需要先摆脱左递归，然后你应该能够计算出规则的第一组。