在 FiPy 中使用扫描函数时的求解器容差和残差

Question

当我意识到命令 sweep 没有像我想象的那样工作时，我正试图使用​​ FiPy 解决一组 PDE。这是我的部分代码示例：

from pylab import *
import sys
from fipy import *

viscosity = 5.55555555556e-06 

Pe =5.

pfi=100.
lfi=0.01

Ly=1.
Nx =200
Ny=100
Lx=Ly*Nx/Ny
dL=Ly/Ny
mesh = PeriodicGrid2DTopBottom(nx=Nx, ny=Ny, dx=dL, dy=dL)

x, y = mesh.cellCenters

xVelocity = CellVariable(mesh=mesh, hasOld=True,  name='X velocity')

xVelocity.constrain(Pe, mesh.facesLeft)
xVelocity.constrain(Pe, mesh.facesRight)

rad=0.1

var1 = DistanceVariable(name='distance to center', mesh=mesh, value=numerix.sqrt((x-Nx*dL/2.)**2+(y-Ny*dL/2.)**2))

pi_fi= CellVariable(mesh=mesh, value=0.,name='Fluid-interface energy map')
pi_fi.setValue(pfi*exp(-1.*(var1-rad)/lfi), where=(var1 > rad) )
pi_fi.setValue(pfi, where=(var1 <= rad))

xVelocityEq = DiffusionTerm(coeff=viscosity) - ImplicitSourceTerm(pi_fi)

xres=10.
while (xres > 1.e-6) :
        xVelocity.updateOld()
        mySolver = LinearGMRESSolver(iterations=1000,tolerance=1.e-6)
        xres = xVelocityEq.sweep(var=xVelocity,solver=mySolver)
        print 'Result = ', xres
#Thats it

简而言之，我声明了一个名为xVelocityEq 的函数并使用sweep 解决它。这是我的输出：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  6.414470433257661e-07

如您所见，while 循环在两次迭代后结束。我的第一个问题是：为什么我的第一个残差 (=0.0007856742013190237) 高于求解器的容差？我认为，由于 xVelocityEq 对应于线性系统，因此求解器容差和残差是同一个意思。

如果我增加编号。 mySolver 中从 1000 到 10000 的迭代次数，我得到以下输出：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  2.4619110931978988e-09

既然第一个保持不变，为什么第二个残差会发生变化？

如果我将 mySolver 中的容差从 1.e-6 增加到 7.e-4，我会得到以下输出：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  6.414470433257661e-07

请注意，这些残差与第一个输出中的相同。现在，如果我尝试将容差进一步增加到 8.e-4，这就是我得到的输出：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
...

此时我完全迷失了。 为什么对于小于 7.e-4 的所有求解器公差，残差具有相同的值？对于高于 7.e-4 的求解器容差，为什么这些残差是常数并等于 0.0007856742013190237？

如果我将 mySolver 更改为 LinearLUSolver（迭代次数 = 1000，容差 = 1.e-6），我会得到以下结果：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  1.6772757200988522e-18

为什么我的第一个残差还是和以前一样，即使我已经改变了求解器？

Answer 1

为什么我的第一个残差 (=0.0007856742013190237) 高于求解器的容差？

.sweep() 计算的残差是在调用求解器计算新解向量之前计算的。根据解向量x的初始值计算矩阵L和右侧向量b。

残差衡量当前解向量满足非线性偏微分方程的程度。求解器容差限制了求解器应努力满足从 PDE 离散化的线性方程组。

即使 PDE 是线性的（例如，扩散系数不是解变量的函数），初始值也可能无法求解 PDE，因此残差很大。调用求解器后，x 应求解 PDE，使其在求解器容差范围内。如果 PDE 是非线性的，那么线性代数的良好收敛解仍然可能不是 PDE 的良好解；这就是扫地的目的。

我认为，由于 xVelocityEq 对应于线性系统，求解器容差和残差是同一回事。

不会有任何实用程序来跟踪两者。除了求解之前的残差和用于终止求解的求解器容差之外，还可以使用不同的归一化，并且许多求解器文档可能有点粗略。 FiPy 使用 |L x - b|_2 作为其残差。求解器可能会通过 b 的大小、L 的对角线或月相进行归一化，所有这些都使得很难直接将残差与容差进行比较.

既然第一个保持不变，为什么第二个残差会发生变化？

通过允许 1000 次迭代而不是 100 次迭代，求解器能够驱动到更精确的容差，进而导致下一次扫描的残差更小。

为什么对于小于 7.e-4 的所有求解器公差，残差具有相同的值？对于高于 7.e-4 的求解器容差，为什么这些残差是常数并等于 0.0007856742013190237？

可能是因为求解器失败，因此没有改变解向量的值。一些求解器不会报告这一点。在其他情况下，我们应该更好地向您报告这一事实。

为什么我的第一个残差还是和以前一样，即使我已经改变了求解器？

残差不是求解器的属性。它是近似 PDE 的离散方程组的属性。然后将这些线性代数方程作为求解器的输入。