为测试生成强烈偏向的随机数

Question

我想使用随机输入运行测试，并且需要生成“合理”随机 数字，即匹配得足够好以通过测试函数的数字 先决条件，但希望在其代码内部造成更严重的破坏。

math.random()（我正在使用 Lua）产生均匀分布的随机 数字。扩大这些规模将产生比小数字更多的大数字， 而且整数会很少。

我想歪曲随机数（或使用旧的生成新的 作为随机源）以强烈支持“简单”数字的方式， 但仍将覆盖整个范围，即扩展到正/负无穷大 （或±1e309 为double）。这意味着：

• 最多十个数字应该是最常见的，
• 整数应该比分数更常见，
• 以 0.5 结尾的数字应该是最常见的分数，
• 后跟 0.25 和 0.75；然后是 0.125，
• 等等。

不同的描述：固定一个基本概率 x 使得概率 将总和为 1 并将数字 n 的概率定义为 x^k 其中 k 是 n 被构造为超现实的一代 号码¹。将 x 分配给 0，将 x² 分配给 -1 和 +1， x³ 到 -2、-1/2、+1/2 和 +2，依此类推。这 很好地描述了接近我想要的东西（它也有点歪斜 很多），但几乎无法用于计算随机数。所结果的 分布不是连续的（它是分形的！），我不知道如何 确定基本概率x（我认为对于无限精度，它会是 零），并且基于此通过迭代计算数字非常糟糕 慢（花费近乎无限的时间来构造大量数字）。

有谁知道一个简单的近似值，给定一个均匀分布的 随机源，产生非常粗略分布的随机数 如上所述？

我想运行数千个随机测试，数量/速度更多 比质量重要。尽管如此，更好的数字意味着更少的输入被拒绝。

Lua 有 JIT，所以性能通常不是什么大问题。然而，基于跳跃 随机性会破坏每一个预测，以及对math.random()的许多调用 也会很慢。这意味着封闭式公式将优于 迭代或递归。

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¹ 维基百科有一个article on surreal numbers，其中 nice picture。一个超现实的数字是一对两个超现实的 数字，即x := {n|m}，其值为中间的数字 对，即（对于有限数）{n|m} = (n+m)/2（作为有理数）。如果一侧 对是空的，这被解释为增量（或减量，如果正确 是空的）减一。如果两边都是空的，那就是零。最初，有 没有数字，所以唯一可以建立的数字是0 := { | }。在一代 二一可以建立数字{0| } =: 1和{ |0} =: -1，三我们得到 {1| } =: 2、{|1} =: -2、{0|1} =: 1/2 和 {-1|0} =: -1/2（加上一些 已知数字的更复杂的表示，例如{-1|1} ? 0)。注意 例如1/3 永远不会由有限数生成，因为它是无限的 分数 - 浮点数也是如此，1/3 永远不会精确表示。

Answer 1

算法怎么样？

1. 使用库函数在 (0, 1) 中生成随机浮点数
2. 根据所需的概率密度函数生成一个随机整数舍入点（例如，0 代表概率 0.5，1 代表概率 0.25，2 代表概率 0.125，...）。
3. 按该舍入点“舍入”浮点数（例如floor((float_val << roundoff)+0.5)）
4. 根据另一个 PDF 生成一个随机积分指数（例如 0、1、2、3，每个概率为 0.1，然后递减）
5. 将四舍五入的浮点数乘以 2^exponent。

Answer 2

对于类似超现实的十进制扩展，您需要一个随机二进制数。 偶数位告诉你是停止还是继续，奇数位告诉你在树上是向右还是向左：

> 0... => 0.0 [50%] Stop
> 100... => -0.5 [<12.5%] Go, Left, Stop
> 110... => 0.5 [<12.5%] Go, Right, Stop
> 11100... => 0.25 [<3.125%] Go, Right, Go, Left, Stop
> 11110... => 0.75 [<3.125%] Go, Right, Go, Right, Stop
> 1110100... => 0.125
> 1110110... => 0.375
> 1111100... => 0.625
> 1111110... => 0.875

快速生成随机二进制数的一种方法是查看 math.random() 中的十进制数字，并将 0-4 替换为“1”，将 5-9 替换为“1”：

• 0.8430419054348022 变成 1000001010001011 变成-0.5

• 0.5513009827118367 变成 1100001101001011 变成0.25 等等

没有做过太多的lua编程，但是用Javascript你可以做到：

Math.random().toString().substring(2).split("").map(
    function(digit) { return digit >= "5" ? 1 : 0 }
);

或真正的二进制扩展：

Math.random().toString(2).substring(2)

不确定哪个更“随机”——您需要对其进行测试。

您可以以这种方式生成超现实数，但大多数结果将是 a/2^b 形式的小数，整数相对较少。在第 3 天，只产生 2 个整数（-3 和 3）与 6 个小数，第 4 天是 2 对 14，第 n 天是 2 对 (2^n-2)。

如果你从math.random() 添加两个均匀随机数，你会得到一个新的分布，它具有类似“三角形”的分布（从中心线性递减）。添加 3 或更多将获得更多的“钟形曲线”，例如以 0 为中心的分布：

math.random() + math.random() + math.random()  - 1.5

除以一个随机数会得到一个真正的百搭数：

A/(math.random()+1e-300)

这将返回 A 和 (理论上) A*1e+300 之间的结果， 虽然我的测试表明 50% 的时间结果在 A 和 2*A 之间 大约 75% 的时间在 A 和 4*A 之间。

将它们放在一起，我们得到：

round(6*(math.random()+math.random()+math.random() - 1.5)/(math.random()+1e-300))

这有超过 70% 的数字在 -9 和 9 之间返回，并且很少出现一些大数字。

请注意，此分布的平均值和总和将趋向于向较大的负数或正数发散，因为您运行它的次数越多，分母中的小数就越有可能导致数字“爆炸”到一个很大的数字，例如 147,967 或 -194,137。

请参阅gist 以获取示例代码。

Josh

Answer 3

您可以立即计算出第 n 个出生的超现实数。

例如，第 1000 个超现实数是：

1. 转换为二进制：

   1000 dec = 1111101000 箱

2. 1 成为加号，0 成为减号：

   1111101000

   +++++-+---

3. 第一个'1'位是0值，下一组相似的数字是+1（代表1）或-1（代表0），那么值是1/2、1/4、1/8，等每个后续位。

   1 1 1 1 1 0 1 0 0 0

   + + + + + - + - - -

   0 1 1 1 1 h h h h h

   +0+1+1+1+1-1/2+1/4-1/8-1/16-1/32

   = 3+17/32

   = 113/32

   = 3.53125

此表示形式的二进制长度等于该数字的诞生日期。

超现实数的左右数是二进制表示，其尾部分别被剥离回最后的 0 或 1。

超现实数字在 -1 和 1 之间均匀分布，其中一半的特定日期创建的数字将存在。 1/4 的数字均匀分布在 -2 到 -1 和 1 到 2 之间，依此类推。最大范围将为与您提供的天数匹配的负整数到正整数。这些数字慢慢地趋于无穷大，因为每天只会在负数和正数范围内增加一个，而日期包含的数字是上一天的两倍。

编辑：

这个位表示的一个好名字是“sinary”

负数是换位。例如：

100010101001101s -> negative number (always start 10...)

111101010110010s -> positive number (always start 01...)

我们注意到所有位翻转都接受第一个转置位。

Nan 是 => 0（因为所有其他数字都以 1 开头），这使得它非常适合在计算机中的位寄存器中表示，因为需要前导零（我们不再制造三进制计算机......太糟糕了）

所有康威超现实代数都可以在这些数字上完成，无需转换为二进制或十进制。

正弦格式可以看作是一个简单的计数器加上一个 2 的补码十进制表示。

这里是关于finary的不完整报告（类似于sinary）：https://github.com/peawormsworth/tools/blob/master/finary/Fine%20binary.ipynb