如何编写通用的 memoize 函数？

Question

我正在编写一个函数来查找triangle numbers，而编写它的自然方式是递归：

function triangle (x)
   if x == 0 then return 0 end
   return x+triangle(x-1)
end

但尝试计算前 100,000 个三角形数会在一段时间后因堆栈溢出而失败。这是memoize 的理想函数，但我想要一个能够记住我传递给它的任何函数的解决方案。

Answer 1

Mathematica 有一种特别巧妙的方式来做记忆，依赖于哈希和函数调用使用相同的语法这一事实：

triangle[0] = 0;
triangle[x_] := triangle[x] = x + triangle[x-1]

就是这样。它之所以有效，是因为模式匹配函数调用的规则是，它总是在更一般的定义之前使用更具体的定义。

当然，正如已经指出的那样，这个例子有一个封闭形式的解决方案：triangle[x_] := x*(x+1)/2。斐波那契数是添加记忆如何显着加速的经典示例：

fib[0] = 1;
fib[1] = 1;
fib[n_] := fib[n] = fib[n-1] + fib[n-2]

虽然它也有一个封闭形式的等价物，尽管更混乱：http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html

我不同意那个人认为这不适合记忆，因为你可以“只使用循环”。记忆的要点是任何重复的函数调用都是 O(1) 时间。这比 O(n) 好很多。事实上，您甚至可以编造一个场景，即 memoized 实现比封闭式实现具有更好的性能！

Answer 2

您还针对您的原始问题提出了错误的问题；）

对于这种情况，这是一个更好的方法：

三角形(n) = n * (n - 1) / 2

此外，假设公式没有如此简洁的解决方案，那么记忆化在这里仍然是一种糟糕的方法。在这种情况下，您最好只编写一个简单的循环。请参阅this answer 进行更全面的讨论。

Answer 3

我敢打赌，这样的事情应该适用于 Lua 中的可变参数列表：

local function varg_tostring(...)
    local s = select(1, ...)
    for n = 2, select('#', ...) do
        s = s..","..select(n,...)
    end
    return s
end

local function memoize(f)
    local cache = {}
    return function (...)
        local al = varg_tostring(...)
        if cache[al] then
            return cache[al]
        else
            local y = f(...)
            cache[al] = y
            return y
        end
    end
end

您可能还可以使用带有 __tostring 的元表做一些聪明的事情，以便可以使用 tostring() 转换参数列表。哦，可能性。

Answer 4

在 C# 3.0 中 - 对于递归函数，您可以执行以下操作：

public static class Helpers
{
    public static Func<A, R> Memoize<A, R>(this Func<A, Func<A,R>,  R> f)
    {
        var map = new Dictionary<A, R>();
        Func<A, R> self = null;
        self = (a) =>
        {
            R value;
            if (map.TryGetValue(a, out value))
                return value;
            value = f(a, self);
            map.Add(a, value);
            return value;
        };
        return self;
    }        
}

然后你可以创建一个这样的记忆斐波那契函数：

var memoized_fib = Helpers.Memoize<int, int>((n,fib) => n > 1 ? fib(n - 1) + fib(n - 2) : n);
Console.WriteLine(memoized_fib(40));

Answer 5

在 Scala 中（未经测试）：

def memoize[A, B](f: (A)=>B) = {
  var cache = Map[A, B]()

  { x: A =>
    if (cache contains x) cache(x) else {
      val back = f(x)
      cache += (x -> back)

      back
    }
  }
}

请注意，这仅适用于 arity 1 的函数，但通过 currying 您可以使其工作。更微妙的问题是memoize(f) != memoize(f) 对于任何函数f。解决此问题的一种非常偷偷摸摸的方法如下：

val correctMem = memoize(memoize _)

我认为这不会编译，但它确实说明了这个想法。

Answer 6

更新：评论者指出记忆是优化递归的好方法。诚然，我以前没有考虑过这一点，因为我通常使用一种语言 (C#)，在这种语言中，通用的记忆化并不是那么容易构建的。牢记这一点，阅读下面的帖子。

我认为Luke likely has the most appropriate solution 解决了这个问题，但记忆化通常不是任何堆栈溢出问题的解决方案。

堆栈溢出通常是由于递归超出平台可以处理的深度引起的。语言有时支持“tail recursion”，它重新使用当前调用的上下文，而不是为递归调用创建新的上下文。但是很多主流语言/平台不支持这一点。例如，C# 没有对尾递归的固有支持。 .NET JITter 的 64 位版本可以将其用作 IL 级别的优化，如果您需要支持 32 位平台，这几乎是无用的。

如果您的语言不支持尾递归，那么避免堆栈溢出的最佳选择是转换为显式循环（不太优雅，但有时​​是必要的），或者找到非迭代算法，例如 Luke 提供的这个问题。

Answer 7

function memoize (f)
   local cache = {}
   return function (x)
             if cache[x] then
                return cache[x]
             else
                local y = f(x)
                cache[x] = y
                return y
             end
          end
end

triangle = memoize(triangle);

请注意，为避免堆栈溢出，三角形仍需要播种。

Answer 8

这里有一些不需要将参数转换为字符串的方法。 唯一需要注意的是它无法处理 nil 参数。但是公认的解决方案无法区分值nil 和字符串"nil"，所以这可能没问题。

local function m(f)
  local t = { }
  local function mf(x, ...) -- memoized f
    assert(x ~= nil, 'nil passed to memoized function')
    if select('#', ...) > 0 then
      t[x] = t[x] or m(function(...) return f(x, ...) end)
      return t[x](...)
    else
      t[x] = t[x] or f(x)
      assert(t[x] ~= nil, 'memoized function returns nil')
      return t[x]
    end
  end
  return mf
end

Answer 9

我受到这个问题的启发，在 Lua 中实现（又一个）灵活的 memoize 功能。

https://github.com/kikito/memoize.lua

主要优点：

• 接受可变数量的参数
• 不使用tostring；相反，它以树状结构组织缓存，使用参数对其进行遍历。
• 适用于返回 multiple values 的函数。

把代码贴在这里作为参考：

local globalCache = {}

local function getFromCache(cache, args)
  local node = cache
  for i=1, #args do
    if not node.children then return {} end
    node = node.children[args[i]]
    if not node then return {} end
  end
  return node.results
end

local function insertInCache(cache, args, results)
  local arg
  local node = cache
  for i=1, #args do
    arg = args[i]
    node.children = node.children or {}
    node.children[arg] = node.children[arg] or {}
    node = node.children[arg]
  end
  node.results = results
end


-- public function

local function memoize(f)
  globalCache[f] = { results = {} }
  return function (...)
    local results = getFromCache( globalCache[f], {...} )

    if #results == 0 then
      results = { f(...) }
      insertInCache(globalCache[f], {...}, results)
    end

    return unpack(results)
  end
end

return memoize

Answer 10

这是一个通用的 C# 3.0 实现，如果有帮助的话：

public static class Memoization
{
    public static Func<T, TResult> Memoize<T, TResult>(this Func<T, TResult> function)
    {
        var cache = new Dictionary<T, TResult>();
        var nullCache = default(TResult);
        var isNullCacheSet = false;
        return  parameter =>
                {
                    TResult value;

                    if (parameter == null && isNullCacheSet)
                    {
                        return nullCache;
                    }

                    if (parameter == null)
                    {
                        nullCache = function(parameter);
                        isNullCacheSet = true;
                        return nullCache;
                    }

                    if (cache.TryGetValue(parameter, out value))
                    {
                        return value;
                    }

                    value = function(parameter);
                    cache.Add(parameter, value);
                    return value;
                };
    }
}

（引自french blog article）

Answer 11

在以不同语言发布备忘录的同时，我想用一个不改变语言的 C++ 示例回复@onebyone.livejournal.com。

首先，单个 arg 函数的 memoizer：

template <class Result, class Arg, class ResultStore = std::map<Arg, Result> >
class memoizer1{
public:
    template <class F>
    const Result& operator()(F f, const Arg& a){
        typename ResultStore::const_iterator it = memo_.find(a);
        if(it == memo_.end()) {
            it = memo_.insert(make_pair(a, f(a))).first;
        }
        return it->second;
    }
private:
    ResultStore memo_;
};

只需创建一个 memoizer 实例，将您的函数和参数提供给它。只需确保不要在两个不同的函数之间共享同一个备忘录（但您可以在同一函数的不同实现之间共享它）。

接下来，一个驱动函数和一个实现。只有驱动功能需要公开 int fib(int); // 司机 int fib_(int); // 实现

已实现：

int fib_(int n){
    ++total_ops;
    if(n == 0 || n == 1) 
        return 1;
    else
        return fib(n-1) + fib(n-2);
}

还有司机，要记住

int fib(int n) {
    static memoizer1<int,int> memo;
    return memo(fib_, n);
}

Permalink showing output 在 codepad.org 上。测量调用次数以验证正确性。 （在此处插入单元测试...）

这只会记住一个输入函数。概括多个参数或不同的参数作为练习留给读者。

Answer 12

在 Perl 中，通用记忆很容易获得。 Memoize 模块是 perl 核心的一部分，非常可靠、灵活且易于使用。

手册页中的示例：

# This is the documentation for Memoize 1.01
use Memoize;
memoize('slow_function');
slow_function(arguments);    # Is faster than it was before

您可以在运行时添加、删除和自定义函数的记忆！您可以为自定义记忆计算提供回调。

Memoize.pm 甚至具有使备忘录缓存持久化的功能，因此无需在每次调用程序时重新填充！

这是文档：http://perldoc.perl.org/5.8.8/Memoize.html

Answer 13

扩展思路，还可以用两个输入参数来记忆函数：

function memoize2 (f)
   local cache = {}
   return function (x, y)
             if cache[x..','..y] then
                return cache[x..','..y]
             else
                local z = f(x,y)
                cache[x..','..y] = z
                return z
             end
          end
end

请注意，参数顺序在缓存算法中很重要，因此如果参数顺序在要记忆的函数中无关紧要，则通过在检查缓存之前对参数进行排序会增加获得缓存命中的几率。

但重要的是要注意，某些功能无法以有利可图的方式进行记忆。我写了 memoize2 来看看是否可以加快用于查找最大公约数的递归 Euclidean algorithm。

function gcd (a, b) 
   if b == 0 then return a end
   return gcd(b, a%b)
end

事实证明，gcd 对记忆的反应并不好。它所做的计算比缓存算法便宜得多。对于大量数据，它会很快终止。一段时间后，缓存变得非常大。这个算法可能已经尽可能快了。

Answer 14

不需要递归。第n个三角形数是n(n-1)/2，所以……

public int triangle(final int n){
   return n * (n - 1) / 2;
}

Answer 15

请不要递归。要么使用 x*(x+1)/2 公式，要么简单地迭代值并随时记忆。

int[] memo = new int[n+1];
int sum = 0;
for(int i = 0; i <= n; ++i)
{
  sum+=i;
  memo[i] = sum;
}
return memo[n];