直接绘制拟合函数和绘制预测值之间有什么区别（它们具有相同的形状但不同的范围）？

Question

我正在尝试在 R 中学习gam()，以便在预测变量上使用样条进行逻辑回归。在我的代码中绘制的两种方法在 logit 标度中给出了相同的形状但不同的响应范围，似乎其中一个缺少截距。两者都应该是正确的，但是为什么范围不同？

library(ISLR)
attach(Wage)
library(gam)

gam.lr = gam(I(wage >250) ~ s(age), family = binomial(link = "logit"), data = Wage)
agelims = range(age)
age.grid = seq(from = agelims[1], to = agelims[2])
pred=predict(gam.lr, newdata = list(age = age.grid), type = "link")
par(mfrow = c(2,1))
plot(gam.lr)
plot(age.grid, pred)

我预计这两种方法都会给出完全相同的图。 plot(gam.lr) 绘制了每个组件的加性效应，因为这里只有一个，所以它应该给出预测的 logit 函数。 predict 方法也给了我链接规模的估计。但实际输出在不同的范围内。第一种方法的最小值为-4，第二种方法的最小值小于-7。

Answer 1

第一个图仅是估计的平滑函数s(age)。平滑受到可识别性约束，因为在用于参数化平滑的基础扩展中，存在与截距完全混淆的函数或函数组合。因此，您不能在同一模型中拟合平滑和截距，因为您可以从截距中减去一些值并将其添加回平滑，并且您具有相同的拟合但系数不同。由于您可以添加和减去无限的值，因此您有无限的模型供应，这没有帮助。

因此，可识别性约束被应用于基扩展，最有用的是确保在协变量的范围内平滑总和为零。这涉及以 0 为中心的平滑，然后截距代表响应的整体平均值。

所以，第一个图是平滑的，受到这个和为零的约束，所以它跨越 0。这个模型中的截距是：

> coef(gam.lr)[1]
(Intercept) 
    -4.7175 

如果您将此添加到此图中的值，您将获得第二个图中的值，这是对您提供的数据的完整模型的应用，截距 + f(age)。

这一切也发生在链接规模，对数赔率规模，因此所有的负值。