如果我没有 32 位，如何将浮点数转换为二进制答案

【问题标题】：How to convert floating number to binary if I have no 32 bits for it如果我没有 32 位，如何将浮点数转换为二进制
【发布时间】：2019-06-04 11:22:42
【问题描述】：

我正在尝试将小数 1,76 转换为二进制，但指数的大小不是 8 位，而是 3 位，尾数的大小不是 23 位，而是 6 位。也就是说，只有 10 位。

我得到 32 位表示 0 01111111 11000010..... 我可以剪掉这个表示吗？

谢谢。

【问题讨论】：

您必须有一个精确的格式规范，并且对于 10 位浮点数没有标准表示（并且您可能有第 11 位作为符号）。指数是如何编码的（如果遵循 ieee754 逻辑，可能是 exp+3）？有没有隐藏的地方？当您拥有此信息时，如果格式类似于 ieee754，您将必须 1/ 调整指数和 2/ 将尾数截断（或最好舍入）为 8 位。

标签： floating-point binary type-conversion

【解决方案1】：

您正在寻找的答案是：

0 011 110001

如果您只关心这些，您可以停止阅读；但是，如果您想了解我是如何找到它的以及 SMT 求解器如何帮助回答有关浮点数的此类问题（以及许多其他问题！），请继续阅读。

如果您有 3 个指数位、6 个有效位和 1 个符号位；那么你总共有 10 位。 Eric 已经解释了如何进行转换的一般模式，但他使用了 16 位所谓的half-precision 格式。由于您有这种非标准格式，它不会直接回答您的问题。你可以按照他的推理为你的格式做同样的事情（你必须弄清楚适当的偏见等），或者使用一个工具来为你做所有这些。

现代 SMT 求解器可轻松用于此类转换。 SMT 求解器是一种自动定理证明器，可以处理不同的感兴趣的理论，浮点就是其中之一。它们以最通用的方式支持浮点数：使用用户指定的指数和有效数宽度。

您可以在此处阅读有关 SMT 求解器的更多信息：http://smtlib.cs.uiowa.edu/
这里解释了浮点逻辑：http://smtlib.cs.uiowa.edu/theories-FloatingPoint.shtml
有很多 SMT 求解器，但现在最流行的可能是来自 Microsoft 的 z3：https://github.com/Z3Prover/z3

说了这么多，我们需要做的就是询问求解器，给定数字1.76，转换为您的特定格式是什么。以下是该问题在 SMT-Lib 语言中的编码方式：

(set-option :produce-models true)
(define-fun x () (_ FloatingPoint 3 7) 
                 ((_ to_fp 3 7) roundNearestTiesToEven (/ 176.0 100.0)))
(check-sat)
(get-value (x))

如您所见，它是一种类似 lisp 的语言。您正在谈论的浮点类型（有点令人困惑）写为(_ FloatingPoint 3 7)。这意味着我们有 3 位指数位和 7 位有效位，包括隐藏位。符号的额外 1 位始终存在，因此没有明确提及。

使用函数(_ to_fp 3 7) 完成转换，它将给定的自然转换为相应的格式。注意它像往常一样采用舍入模式，我选择了普通模式roundNearestTiesToEven；但您可以选择五种 IEEE754 舍入模式中的任何一种。有关详细信息，请参阅浮点逻辑描述。最后，有理数1.76写成(/ 176.0 100.0)。

我们告诉求解器在第一行生成模型。电话(check-sat) 说：继续为我的所有约束找到一个模型。在最后一行，我们询问浮点数的值x。

现在如果你把这个程序放在一个文件中，比如a.smt2，然后在你的电脑上下载z3并运行它，你会得到：

$ z3 a.smt2
sat
((x (fp #b0 #b011 #b110001)))

z3 告诉我们的是，确实有解决方案。（请记住，您可以设置任意约束，因此系统通常可能没有解决方案；在这种情况下，您会得到unsat 的答案。）然后它告诉我们x 的值是什么。你可以眯着眼睛看你要求的格式：

0 011 110001

好了，这就是你在特定浮点格式中表示数字 1.76 的方式。

SMT 求解器非常了不起，他们可以做神奇的事情；包括免费转换为您可能拥有的任何特定浮点格式！

【讨论】：

是的，我有“十位”卡在我的脑海中，并且错误地将其用于有效位字段。我修正了我的答案。

【解决方案2】：

此答案假定采用 IEEE-754 样式的 10 位格式：

有一位符号字段，0 表示正，1 表示负。
有一个指数偏差为 3 的三位指数字段（2^e 在字段中用 e-3 表示)。
有一个七位有效位，其中后六位存储在有效位域中，前导位由指数编码（指数域中的零表示前导有效位为0，非零表示1，不包括无穷大或 NaN）。

为了编码 1.76，我们观察到：

为正数，符号位为0。
它等于 f•2⁰，其中 1 ≤ f e 为 0 .
f 是 1.76，即二进制 1.1100001010001111...

将有效位划分为一个前导位、六位用于有效位字段和余数，我们有 1 110000 1010001111...。由于余数大于前一位置值的 ½，我们向上取整，将 1 110000 递增到 1 110001。

因此，1.76的编码是符号0，指数3（011），有效位110001：

0 011 110001

【讨论】：