如何用二进制表示浮点数。 IEEE答案

【问题标题】：How to represent floating point in binary. IEEE如何用二进制表示浮点数。 IEEE
【发布时间】：2012-12-01 19:41:59
【问题描述】：

类似于十进制的二进制数也可以表示浮点数。现在我读到它可以有这种花车

0.5:0.1 , 0.25:0.01 , 0.125:0.001 ... 等等。但是，例如，0.1（十进制）如何以二进制表示？

另外，给定一个十进制浮点数，如何将其转换为等效的十进制数，（假设它不是那么简单）。

编辑：所以我知道更好的问题是；如何将十进制浮点数转换为二进制？现在我知道我们乘以小数部分，直到它变为零。现在很有可能两个浮点可以有相同的表示，对吧？

【问题讨论】：

标签： floating-point binary decimal

【解决方案1】：

给定多少位？

0.1b：

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011...

如您所见，这是一个近似值。

Binary                                          Decimal
0.1     == 1/2^1         == 1/2              == 0.5
0.01    == 1/2^2         == 1/4              == 0.25
0.11    == 1/2^1 + 1/2^2 == 1/2 + 1/4 == 3/4 == 0.75

radix point 之后的每一位代表 1/2^(position_after_bit_string)。

postion:   |1|2|3|4|5|6|7|
         0.|0|0|0|0|0|0|1|

所以0.0000001 = 1/2^7 = 0.0078125

伪代码：

decimal_value = 0 
for i, bit in enumerate(binary_string):
    if bit == 1
         decimal_value += 1/2**i

【讨论】：

现在很有可能两个浮点可以有相同的表示，对吧？
不，使用这种表示法，一个位串只有一个值。
@Sahil：当数字转换为浮点数时（例如通过解析包含数字的字符串并将其转换为浮点数），不同的数字可以产生相同的结果。说浮点结果代表这些数字是不准确的。根据 IEEE 754 标准，浮点值恰好代表一个数字，您可以通过按照标准中指定的方式解释其编码来获得该数字。您可以说两个不同的数字在浮点数中可能具有相同的近似值，但重要的是要记住它只是一个近似值。

【解决方案2】：

另一个可能有帮助的观察结果。浮点数的“整数部分”以其“正常”形式存在于二进制文件中，例如，如果值为 25.7482，则浮点数中将包含位“11001”（25），后面的位表示分数（实际上第一个'1'从未存储，它在格式中隐含）。如果从该数字中减去 25.0，然后乘以 10，则得到 7.482，通过检查该值的整数部分，您可以获得第一个小数位“7”。

减去 7.0，乘以 10 得到 4.82，因此下一个数字“4”，依此类推。这个过程理论上最终会以零结果结束，因为所有可以用浮点格式精确表示的值都有精确的十进制表示；但是，考虑到原始浮点的精度，“精确”结果的位数可能比实际合理的多得多（无论如何，您可能需要额外的内部精度才能获得完全精确的结果 - 您需要确保乘以 10 确实不会产生舍入误差）。

而且，对于像 6.432e-200 这样的数字，这种方法是可行的，但不是很有效（在第一个 '6' 出现之前你会生成 199 个零）。

【讨论】：