查找数字 (4+sqrt(11))^n 小数点前的最后两位

Question

我正在做一个问题，我必须找到数字小数点前的最后两位数字
[4 + sqrt(11)]ⁿ.

例如，当 n = 4, [4 + sqrt(11)]⁴ = 2865.78190... 时，答案是 65。其中 n 可以从 2 变化9.

我的解决方案 - 我尝试构建一个平方根函数来计算 11 的 sqrt 其精度等于用户输入的 n 值。

我在 Java 中使用了BigDecimal 来避免溢出问题。

public class MathGenius {

    public static void main(String[] args) {

        Scanner reader = new Scanner(System.in);
        long a = 0;
        try {
            a = reader.nextInt();
        } catch (Exception e) {
            System.out.println("Please enter a integer value");
            System.exit(0);
        }

        // Setting precision for square root 0f 11. str contain string like 0.00001
        StringBuffer str = new StringBuffer("0.");
        for (long i = 1; i <= a; i++)
            str.append('0');
        str.append('1');

        // Calculating square root of 11 having precision equal to number enter
        // by the user.
        BigDecimal num = new BigDecimal("11"), precision = new BigDecimal(
                str.toString()), guess = num.divide(new BigDecimal("2")), change = num
                .divide(new BigDecimal("4"));
        BigDecimal TWO = new BigDecimal("2.0");
        BigDecimal MinusOne = new BigDecimal("-1"), temp = guess
                .multiply(guess);
        while ((((temp).subtract(num)).compareTo(precision) > 0)
                || num.subtract(temp).compareTo(precision) > 0) {

            guess = guess.add(((temp).compareTo(num) > 0) ? change
                    .multiply(MinusOne) : change);

            change = change.divide(TWO);
            temp = guess.multiply(guess);
        }

        // Calculating the (4+sqrt(11))^n
        BigDecimal deci = BigDecimal.ONE;
        BigDecimal num1 = guess.add(new BigDecimal("4.0"));
        for (int i = 1; i <= a; i++)
             deci = deci.multiply(num1);

        // Calculating two digits before the decimal point
        StringBuffer str1 = new StringBuffer(deci.toPlainString());
        int index = 0;
        while (str1.charAt(index) != '.')
            index++;
        // Printing output

        System.out.print(str1.charAt(index - 2));
        System.out.println(str1.charAt(index - 1));
    }
}

此解决方案在 n = 200 时有效，但随后开始变慢。它在 n = 1000 时停止工作。

什么是处理问题的好方法？

2 -- 53
3 -- 91
4    65
5    67
6    13
7    71
8    05
9    87
10   73
11   51
12   45
13   07
14   33
15   31
16   85
17   27
18   93
19   11
20   25
21   47
22   53
23   91
24   65
25   67

Answer 1

在 n=22 时，结果似乎从 n=2 的位置重复。 因此，将这 20 个值以与列表中相同的顺序保存在数组中，例如nums[20]。

那么当用户提供一个n时：

return nums[(n-2)%20]

现在有证据证明这种模式重复 here。

或者，如果您坚持详细计算；因为您通过循环乘法（而不是 BigDecimal pow(n)）来计算幂，所以您可以将前面使用的数字修剪为最后 2 位数字和小数部分。

Answer 2

这里有一个更简单的解决方案...

使用4+sqrt(11)的有理表示：

BigInteger hundred     = new BigInteger("100");
BigInteger numerator   = new BigInteger("5017987099799880733320738241");
BigInteger denominator = new BigInteger("685833597263928519195691392");
BigInteger result = numerator.pow(n).divide(denominator.pow(n)).mod(hundred);

更新：

正如您在下面的 cmets 中提到的，此过程容易丢失精度，最终会产生不正确的结果。我发现这个问题在数学方面相当有趣，所以我在 MO (https://mathoverflow.net/q/158420/27456) 上发布了一个问题。

您可以在https://mathoverflow.net/a/158422/27456阅读答案。