我需要计算一个非常小的数字列表，例如
(0.1)^1000, 0.2^(1200),
然后将它们归一化，使它们总和为 1 即
a1 = 0.1^1000, a2 = 0.2^1200
我想计算 a1' = a1/(a1+a2), a2'=a2(a1+a2)。
我遇到了下溢问题，因为我得到 a1=0。我怎样才能解决这个问题？ 理论上我可以处理日志，然后 log(a1) = 1000*log(0.l) 将是一种表示 a1 没有下溢问题的方法 - 但为了规范化我需要得到 log(a1+a2) - 我无法计算，因为我不能直接表示 a1。
我正在使用 R 编程 - 据我所知，在 c# 中没有像 Decimal 这样的数据类型 可以让你得到比双精度更好的值。
任何建议都将不胜感激，谢谢
【问题讨论】：
从数学上讲，其中一个数字是 appx。零，另一个。你们的数字之间的差异很大，所以我什至想知道这是否有意义。
但一般来说，您可以使用 R 引擎下的 logspace_add C 函数中的想法。当 lx = log(x) 和 ly = log(y) 时，可以将 logxpy ( =log(x+y) ) 定义为：
logxpy <- function(lx,ly) max(lx,ly) + log1p(exp(-abs(lx-ly)))
这意味着我们可以使用：
> la1 <- 1000*log(0.1)
> la2 <- 1200*log(0.2)
> exp(la1 - logxpy(la1,la2))
[1] 5.807714e-162
> exp(la2 - logxpy(la1,la2))
[1] 1
如果你有更多的数字，这个函数也可以递归调用。请注意，1 仍然是 1，而不是 1 减去 5.807...e-162。如果您确实需要更高的精度并且您的平台支持 long double 类型，您可以使用例如 C 或 C++ 编写所有代码，并稍后返回结果。但如果我是对的，R 暂时只能处理普通的双精度数，所以当结果显示时，你最终会再次失去精度。
编辑：
为你做数学：
log(x+y) = log(exp(lx)+exp(ly))
= log( exp(lx) * (1 + exp(ly-lx) )
= lx + log ( 1 + exp(ly - lx) )
现在你只取最大的 lx，然后你得到logxpy() 中的表达式。
编辑2：为什么要取最大值呢？很简单，确保您在 exp(lx-ly) 中使用负数。如果 lx-ly 变得太大，则 exp(lx-ly) 将返回 Inf。这不是一个正确的结果。 exp(ly-lx) 将返回 0，这可以得到更好的结果：
说 lx=1 和 ly=1000，然后：
> 1+log1p(exp(1000-1))
[1] Inf
> 1000+log1p(exp(1-1000))
[1] 1000
【讨论】：
.Machine$double.xmin 给出。它在 2.2e-308 左右。甚至 1e-323 也不再正确表示，即使它没有被视为完全为零。
Brobdingnag 包处理非常大或非常小的数字，本质上是将 Joris 的答案包装成一种方便的形式。
a1 <- as.brob(0.1)^1000
a2 <- as.brob(0.2)^1200
a1_dash <- a1 / (a1 + a2)
a2_dash <- a2 / (a1 + a2)
as.numeric(a1_dash)
as.numeric(a2_dash)
【讨论】：
也许您可以将 a1 和 a2 视为分数。在您的示例中，使用
a1 = (a1num/a1denom)^1000 # 1/10
a2 = (a2num/a2denom)^1200 # 1/5
你会到达
a1' = (a1num^1000 * a2denom^1200)/(a1num^1000 * a2denom^1200 + a1denom^1000 * a2num^1200)
a2' = (a1denom^1000 * a2num^1200)/(a1num^1000 * a2denom^1200 + a1denom^1000 * a2num^1200)
可以使用 gmp 包计算：
library(gmp)
a1 <- as.double(pow.bigz(5,1200) / (pow.bigz(5,1200)+ pow.bigz(10,1000)))
【讨论】：