通过使用两个浮点数进行双重除法？

Question

我想使用两个浮点数进行双除（Direct Compute 似乎不支持双除）。

这可能吗？

这是我目前尝试过的（c#代码，后面应该是HLSL）：

int count = 7;
double value = 0.0073812398871474;
float f1 = (float)value;
float f2 = (float)((value - f1));
float r1 = f1 / count;
float r2 = f2 / count;
double result = (double)r1 + (double)r2;

0,00105446285765182（结果）

0,00105446284102106（正确结果）

这与 f1 中的舍入有关。如果值改为：

 double value = 0.0073812344471474;

那么结果是正确的。

Answer 1

使用浮点除法计算计数的倒数，然后使用 Newton-Raphson 倒数公式将精度提高到整倍。

int count = 7;
double value = 0.0073812398871474;
double r = (double) (1.0f / count); // approximate reciprocal
r = r * (2.0 - count*r); // much better approximation
r = r * (2.0 - count*r); // should be full double precision by now.
double result = value * r;

Answer 2

显然，您的算术错误并没有立即清楚。让我把它拼出来。

假设一个 double 有两个部分，大部分和小部分，每个部分的精度大约为 32 位。 （这不完全是双打的工作方式，但它会为我们的目的做。）

一个浮点数只有一个部分。

想象一下，我们一次处理 32 位，但将所有内容保持为双精度：

double divisor = whatever;
double dividend = dividendbig + dividendlittle;
double bigquotient = dividendbig / divisor;

什么是大商？是双倍的。所以它有两个部分。 bigquotient 等于 bigquotientbig + bigquotientlittle。继续：

double littlequotient = dividendlittle / divisor;

同样，littlequotient 是 littlequotientbig + littlequotientlittle。现在我们添加商：

double quotient = bigquotient + littlequotient;

我们如何计算它？商有两个部分。 quotientbig 将设置为 bigquotientbig。 quotientlittle 将设置为 bigquotientlittle + littlequotientbig。 littlequotientlittle 被丢弃。

现在假设您在浮动中执行此操作。你有：

float f1 = dividendbig;
float f2 = dividendlittle;
float r1 = f1 / divisor;

好的，r1 是什么？这是一个浮子。所以它只有一个部分。 r1 是 bigquotientbig。

float r2 = f2 / divisor;

什么是r2？这是一个浮子。所以它只有一个部分。 r2 是 littlequotientbig。

double result = (double)r1 + (double)r2;

将它们加在一起，得到 bigquotientbig + littlequotientbig。 bigquotientlittle 发生了什么事？ 您已经失去了 32 位的精度，因此在此过程中出现 32 位的不准确也就不足为奇了。 您根本没有提出在 32 位中逼近 64 位算术的正确算法。

为了计算(big + little)/divisor，你不能简单地做(big / divisor) + (little / divisor)。当您在每个除法期间四舍五入时，该代数规则不适用！

现在清楚了吗？

Answer 3

这可能吗？

可以，只要你：

• 接受不可避免的精度损失
• 请记住，并非所有双精度数都适合浮点数

---

更新

阅读完您的 cmets（要求双精度）后，我的更新答案是：

没有。

Answer 4

那么像

result = value * (double)(1f / (float)count); ?

你只划分了两个浮点数。我的演员阵容比需要的多，但重要的是概念。

编辑：
好的，所以您担心实际值和舍入值之间的差异，对吗？所以只要一遍又一遍地做，直到你做对！

double result = 0;
double difference = value;
double total = 0;
float f1 = 0;
while (difference != 0)
{
    f1 = (float)difference;
    total += f1;
    difference = value - total;
    result += (double)(f1 / count);
}

...但是您知道，简单的答案仍然是“不”。这仍然没有捕捉到所有的舍入错误。根据我的测试，它最多可以将不准确性降低到 1e-17，大约 30% 的时间。

Answer 5

在评论中，你说：

当然不应该有任何损失 的精度。这就是我使用的原因 两个花车。如果我愿意接受损失 精确，然后我可以投两个 浮动并进行除法。

IEEE-754 single precision 值具有 24 个有效二进制数字。 double precision 值有 53 个有效数字。你甚至不能将一个双精度值表示为两个单精度值而不损失精度，更不用说用这种表示法进行算术运算了。

也就是说，可能只使用双精度和单精度之间的转换、双精度减法/加法和单精度运算进行正确舍入的双精度除法，但如果你真的想做正确的事。您需要实际的 IEEE-754 正确舍入，还是只需要最后一位或两位正确的答案？