【问题标题】：How does this method determine the greatest common divisor?这种方法如何确定最大公约数？
【发布时间】：2016-12-29 02:25:23
【问题描述】：

在数学中，两个或多个整数的最大公约数 (gcd)，当其中至少一个不为零时，是除以无余数的最大正整数。比如8和12的GCD是4。Wikipedia

以下方法可以确定GCD：

def gcd(a, b)
  if a % b == 0
    b
  else
    gcd(b, a % b)
  end
end
p gcd(4, 12)
#=> 4

这个方法是如何工作的？

如果a % b == 0 那么b 是可以进入a 和b 的最大数字是有道理的。

但为什么要再次调用相同的方法，但要切换 args 并再次取模？

我并没有探究 else 部分背后的原因。

编辑：

添加一些puts 语句以使其更清晰：

def gcd(a, b)
  puts "Inside gcd, a: #{a}, b: #{b}, a \% b: #{a % b}"

  if a % b == 0
    puts "Inside if, a: #{a}, b: #{b}, a \% b: #{a % b}"
    b
  else
    puts "Inside else, a: #{a}, b: #{b}, a \% b: #{a % b}"
    gcd(b, a % b)
  end
end

p gcd(55, 105)

标准输出：

Inside gcd, a: 55, b: 105, a % b: 55
Inside else, a: 55, b: 105, a % b: 55
Inside gcd, a: 105, b: 55, a % b: 50
Inside else, a: 105, b: 55, a % b: 50
Inside gcd, a: 55, b: 50, a % b: 5
Inside else, a: 55, b: 50, a % b: 5
Inside gcd, a: 50, b: 5, a % b: 0
Inside if, a: 50, b: 5, a % b: 0
5

【问题讨论】：

也许只需添加一些puts 语句来查看它的作用？有趣的是，Ruby 内置了12.gcd(4) 函数。
我认为如果您只是在 55 和 105 上尝试一下，该方法会更清晰。

标签： ruby algorithm math

【解决方案1】：

这就是所谓的Euclidean Algorithm。

为了了解为什么需要交换数字并进行另一个递归调用，您需要了解其背后的实际数学原理。检查此YouTube video 以了解欧几里得算法的工作原理。否则，我在下面写了我对算法的解释。

欧几里得算法的形式化解释：

输入

两个正整数，a 和 b。

输出

a 和 b 的最大公约数 gcd。

内部计算

如果 a

a 除以 b 得到余数 r。如果 r = 0，则将 b 报告为 a 和 b 的 GCD。

将 a 替换为 b 并将 b 替换为 r。返回上一步。

例如：

gcd(40,7)

40 = 7(5) + 5 
 7 = 5(1) + 2
 5 = 2(2) + 1 <-- your gcd
 2 = 1(2) + 0

但是，这意味着...

gcd(40,7) = gcd(7, gcd(40,7)) =
gcd(7, 5) = gcd(5, gcd(7, 5)) =
gcd(5, 2) = gcd(2, gcd(5, 2)) = 
gcd(2, 1) = 0

当 gcd(a,b) = 0，b 等于 1，所以我们返回 b

现在这是重要的部分！如果我们不交换数字，我们将无法执行必要的数学运算，并最终跟踪 b 的位置，这是我们的 gcd .

因此，本质上需要交换以保持因素正确。尝试在没有交换的情况下进行数学运算，您很快就会明白为什么它很重要；)

希望这会有所帮助！

【讨论】：

【解决方案2】：

关键的事实是，对于 b 的每个除数 g，当且仅当 g 除以 a % b 时，我们有 g 除以 a（特别是，这适用于 GCD）。这是由恒等式 a = (a / b) * b + a % b，其中 / 是整数除法，因为 g 除以 a（分别为 a % b），而 g 除以 b 的所有倍数，包括 (a / b ) * b，因此 g 除以 a % b（分别为 a）。因此，如果递归调用终止，它会给出正确的结果，并且它终止是因为我们总是减小输入的大小（根调用除外）。

切换参数的原因是较大的数字是第一个参数，因为 0

【讨论】：